Question

14．如圖所示，質量為m=1kg的可視為質點的小物塊輕輕放在水平勻速運動的傳送帶上的P點，隨傳送帶運動到A點后水平拋出，小物塊恰好無碰撞的沿圓弧切線從B點進人豎直固定的光滑圓弧軌道下滑，圓弧軌道與質量為M=2kg的足夠長的小車左端在最低點O點相切，并在O點滑上靜止在光滑水平地面上的小車，當物塊運動到障礙物Q處時與Q發(fā)生無機械能損失的碰撞，碰撞前物塊和小車已經(jīng)相對靜止，而小車可繼續(xù)向右運動（物塊始終在小車上），小車和物塊在運動過程中和圓弧無相互作用．已知圓弧半徑R=1.0m，圓弧對應的圓心角θ為53°，A、B兩點間的高度差h=0.8m，物塊與小車間的動摩擦因數(shù)為μ=0.1，重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．試求：
（1）小物塊離開A點的水平初速度v₁；
（2）小物塊經(jīng)過O點時對軌道的壓力；
（3）第一次碰撞后直至靜止，物塊相對小車的位移和小車做勻減速運動的總時間．（計算結果用根號表示）

Answer 1

分析 （1）利用平拋運動規(guī)律，在B點對速度進行正交分解，得到水平速度和豎直方向速度的關系，而豎直方向速度V_y²=2gh顯然易求，則水平速度可解．
（2）首先利用動能定理解決物塊在最低點的速度問題，然后利用牛頓第二定律在最低點表示出向心力，則滑塊受到的彈力可解．根據(jù)牛頓第三定律可求對軌道的壓力．
（3）第一次碰撞后，滑塊以原速率返回，小車減速，當滑塊速度減為零后反向加速度時，小車仍然減速，直到兩者速度相同，一起向右；之后重復這個過程，小車與滑塊有相對滑動的過程中，小車勻減速；根據(jù)功能關系列式求相對路程，根據(jù)速度時間關系公式求解小車的減速時間．

解答 解：（1）對小物塊由A到B有：V_y²=2gh
在B點：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$
解得：v₁=3m/s
（2）由A到O，根據(jù)動能定理有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$=mg（h+R-Rcosθ）
在O點：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{33}m/s$，F(xiàn)_N=43N
故壓力F′_N=43N
即小物塊經(jīng)過O點時對軌道的壓力為43N．
（3）摩擦力f=μmg=1N，物塊滑上小車后，滑塊減速運動，加速度大小為${a}_{m}=\frac{f}{m}=1m/{s}^{2}$；
小車加速運動，加速度大小為${a}_{M}=\frac{f}{M}=0.5m/{s}^{2}$；
經(jīng)過時間t達到的共同速度為v_t，則
$\frac{{v}_{t}}{{a}_{M}}=\frac{{v}_{0}-{v}_{t}}{{a}_{m}}$得${v}_{t}=\frac{\sqrt{33}}{3}m/s$
由于碰撞不損失能量，物塊在小車上重復做勻減速和勻加速運動，相對小車始終向左運動，與小車最終靜止，摩擦力做功使動能全部轉化為內能，故有：
$f{s}_{相}=\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{t}}^{2}$
得s_相=5.5m
小車從物塊碰撞后開始做勻減速運動，（每個減速階段）加速度a不變，${a}_{M}=\frac{f}{M}=0.5m/{s}^{2}$，v_t=a_Mt，
得t=$\frac{2}{3}\sqrt{33}s$
答：（1）小物塊離開A點的水平初速度v₁為3m/s；
（2）小物塊經(jīng)過O點時對軌道的壓力為43N；
（3）第一次碰撞后直至靜止，物塊相對小車的位移為5.5m，小車做勻減速運動的總時間為$\frac{2}{3}\sqrt{33}s$．

點評 本題前兩問是一個單物體多過程的力學問題，把復雜的過程分解成幾個分過程是基本思路；第三問是一個多過程問題，要分析清楚兩個物體的運動情況，然后根據(jù)運動學公式和功能關系列式求解．