Question

在電視節(jié)目中我們常常能看到一種精彩的水上運動--滑水板，如圖所示．運動員在快艇的水平牽引力作用下，腳踏傾斜滑板在水上勻速滑行，設滑板是光滑的．若運動員與滑板的總質量為m=70kg，滑板的總面積為S=0.12m²，水的密度為ρ=1.0×10³ kg/m³．理論研究表明：當滑板與水平方向的夾角（板前端抬起的角度）為θ時，水對板的作用力大小為N=ρSv²sin²θ，方向垂直于板面．式中v為快艇的牽引速度，S為滑板的滑水面積，求為了使滑板能在水面上滑行，快艇水平牽引滑板的最小速度．

Answer 1

分析：根據(jù)力的平衡求出速度和滑板與水平方向的夾角的關系，根據(jù)數(shù)學知識導數(shù)求該表達式的最小值，從而得出最小速度．

解答：解：滑板和運動員受重力mg、水對滑板的彈力N，繩子的拉力F，不計水的阻力，根據(jù)物體的平衡有：
Ncosθ-mg=0
又根據(jù)題設條件，N=ρSv²sin²θ，可得牽引的速度v=

mg ρSsin2θcosθ

在mg、ρ、S一定的條件下，v是θ的函數(shù)，當θ取一定值時，v有最小值．設y=sin²θcosθ，則當y有最大值時，v有最小值．求y的導數(shù)并令其為零．

dy

dθ

=2sinθcos2θ-sin3θ=0 解得，tanθ=

2

．
根據(jù)數(shù)學三角函數(shù)得，cosθ=

3

3

，sin2θ=

2

3

則ymax=

2 3

9

代入速度表達式中，最小速度v=

3 3 mg 2ρS

=3.9m/s．
故快艇水平牽引滑板的最小速度為3.9m/s．

點評：本題本來是一道相當難的問題，數(shù)學計算較復雜，但使用導數(shù)運算后，使的一難題變?yōu)橐坏莱Ｒ?guī)題．