Question

8．如圖所示，一等腰直角三角形OMN的腰長為2L，P點為ON的中點，三角形PMN內存在著垂直于紙面向里的勻強磁場Ⅰ（磁感應強度大小未知），一粒子源置于P點，可以射出垂直于ON向上的不同速率、不同種類的帶正電的粒子．不計粒子的重力和粒子之間的相互作用．
（1）求線段PN上有粒子擊中區(qū)域的長度s；
（2）若三角形區(qū)域OMN的外部存在著垂直于紙面向外的勻強磁場Ⅱ，磁感應強度大小為B；三角形OMP區(qū)域內存在著水平向左的勻強電場．某粒子從P點射出后經(jīng)時間t恰好沿水平向左方向穿過MN進入磁場Ⅱ，然后從M點射出磁場Ⅱ進入電場，又在電場力作用下通過P點．求該粒子的荷質比以及電場的電場強度大�。�

Answer 1

分析 （1）作出粒子運動軌跡，能擊中PN段的粒子軌跡恰好與MN相切，根據(jù)幾何關系求得粒子擊中區(qū)域的長度；
（2）根據(jù)幾何關系作出粒子運動軌跡，求出粒子圓周運動的軌跡半徑，由半徑求得粒子的荷質比，從M點進入電場后做類平拋運動，根據(jù)類平拋知識求得電場強度的大小；

解答 解：（1）粒子打在PN上離P最遠時，軌道恰好與MN相切，根據(jù)幾何關系作出粒子運動圖象有：

由圖象根據(jù)幾何關系有：
${R}_{1}+\sqrt{2}{R}_{1}=L$
可得臨界運動時粒子半徑：
R=$\frac{L}{1+\sqrt{2}}$
粒子擊中范圍：
s=2R₁=$2×\frac{L}{1+\sqrt{2}}$=$2（\sqrt{2}-1）L$
（2）由題意作出粒子運動軌跡，由幾何關系得：
R₂+R₂tan45°=L
得到粒子在PNM中圓周運動的軌道半徑
${R}_{2}=\frac{L}{2}$
設粒子的速度大小為v，則可知粒子在PNM中運動的時間：
t=$\frac{\frac{π}{2}{R}_{2}}{v}$
則可得粒子速度v=$\frac{\frac{π}{2}{R}_{2}}{t}$=$\frac{πL}{4t}$
粒子在磁場II中在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，根據(jù)圖示幾何關系可得：
${R}_{3}=\frac{3L}{2}$
根據(jù)洛倫茲力提供向心力有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{3}}$
則解得粒子的比荷：
$\frac{q}{m}=\frac{v}{B{R}_{3}}=\frac{\frac{πL}{4t}}{B\frac{3}{2}L}$=$\frac{π}{6Bt}$
粒子從M進入電場后做類平拋運動，即在水平方向做初速度為o的勻加速直線運動，豎直方向做勻速直線運動，故有：
豎直方向有：2L=vt
可得類平拋運動時間t=$\frac{2L}{v}$
水平方向有：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}（\frac{2L}{v}）^{2}$
由此解得，電場強度E=$\frac{Lm{v}^{2}}{2q{L}^{2}}=\frac{（\frac{πL}{4t}）^{2}}{2L•\frac{q}{m}}$=$\frac{3BπL}{16t}$
答：（1）線段PN上有粒子擊中區(qū)域的長度s=$2（\sqrt{2}-1）L$；
（2）該粒子的荷質比為$\frac{π}{6Bt}$以及電場的電場強度大小為$\frac{3BπL}{16t}$．

點評 解決此類問題需要根據(jù)題意作出粒子的運動軌跡，題目難在對題意的理解，并能根據(jù)軌跡確定相關的幾何關系，即找出在磁場中圓周運動的圓心和軌道半徑，找出這些題目才有突破口．