Question

（2013?寧波二模）如圖所示，PQ是兩塊平行金屬板，上極板接電源正極，兩極板之間的電壓為U=1.2×10⁴V，一群帶負(fù)電粒子不停的通過P極板的小孔以速度v₀=2.0×10⁴m/s垂直金屬板飛入，通過Q極板上的小孔后，垂直AC邊的中點(diǎn)O進(jìn)入邊界為等腰直角三角形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1.0T，邊界AC的長(zhǎng)度為a=1.6m，粒子比荷

q

m

=5×104Ckg粒子的重力．求：
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小是多少？
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？打在什么位置？
（3）若在兩極板間加一正弦交變電壓U=9.6×10⁴sin314t（V），則這群粒子可能從磁場(chǎng)邊界的哪些區(qū)域飛出？并求出這些區(qū)域．（每個(gè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，可認(rèn)為電壓是不變的）

Answer 1

分析：1、粒子從P極板進(jìn)入電場(chǎng)后，做加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理qU=

1

2

mv2-

1

2

mv02，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大�。�
2、粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力qvB=m

v2

R

，解得R=

mv

qB

=0.8m，故垂直地打在BC邊的中點(diǎn)．解出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T，轉(zhuǎn)角為90°，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

1

4

T．
3、當(dāng)粒子以反向最大電壓進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，粒子不能穿過Q點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)．t=0時(shí)刻射入的粒子，沒有經(jīng)過加速，粒子將以v₀=2.0×10⁴m/s從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，此時(shí)半徑最小，求出最小半徑，判斷粒子打在哪兒．當(dāng)粒子以正向最大電壓加速進(jìn)入電場(chǎng)中，根據(jù)動(dòng)能定理求出最大速度，從而計(jì)算出最大半徑，在作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算粒子打在哪兒．

解答：解：（1）粒子從P極板進(jìn)入電場(chǎng)后，做加速運(yùn)動(dòng)，有：
qU=

1

2

mv2-

1

2

mv02
v=4×10⁴m/s
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力：
qvB=m

v2

R

故R=

mv

qB

=0.8m
所以垂直地打在BC邊的中點(diǎn)．    
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為
T=

2πR

v

=

2πm

qB

=

2π

5

×10-4s
偏轉(zhuǎn)角為90°，
所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=

1

4

T=

π

10

×10-4s=π×10-5s
（3）當(dāng)粒子以反向最大電壓進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，粒子不能穿過Q點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)．
t=0時(shí)刻射入的粒子，沒有經(jīng)過加速，粒子將以v₀=2.0×10⁴m/s從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，
Rmin=

mv0

qB

=0.4m．恰好打到C點(diǎn)  
因此OC邊可以全部打到．
當(dāng)粒子以正向最大電壓加速進(jìn)入電場(chǎng)中，根據(jù)動(dòng)能定理：
qUm=

1

2

mvm2-

1

2

mv02
最大速度vm=105m/s
Rmax=

mvm

qB

=2m
若粒子與AB邊相切飛出，如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可得：
BF+FC=a，
R_切=PF+FO₁，可得：
R切=0.8×(

2

+1)m＜Rmin
由以上三個(gè)半徑關(guān)系可知，粒子從BC 和AB邊飛出．
若恰好與AB相切的粒子打在BC邊E，離C點(diǎn)的距離為：0.8

2 2 +1

m
在EC之間均有粒子飛出
與AB邊相切的切點(diǎn)P到B點(diǎn)的距離為：0.8(

2

-1)m 
當(dāng)粒子以最大速度進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，粒子將從AB邊界的G點(diǎn)飛出，設(shè)OD之間的距離為x，則：
GD=AD=x+

a

2

，
DO₂=R_max-x，
根據(jù)幾何關(guān)系可得：(

a

2

+x)+(Rmax-x)2=Rmax2
可得x=0.4m
最大速度粒子從AB邊上射出點(diǎn)G到B點(diǎn)的距離為：0.4

2

m
在GP之間均有粒子飛出．
答：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小是4×10⁴m/s．（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為π×10^-5s，垂直地打在BC邊的中點(diǎn)．（3）分析過程如上所述．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是要能分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)情況，能夠熟練的根據(jù)洛倫茲力提供向心力和幾何關(guān)系求解，作圖對(duì)于解決帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是非常重要的方法．