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如圖甲所示,正方形線框abcd的質量為m、邊長為乙,線框從垂直紙面向里的水平有界勻強磁場的上方h高度處由靜止自由下落,下落過程中,線框始終在同一豎直平面內,磁場高度為H,cd邊與磁場邊界都沿水平方向,g取l0m/s2
(1)證明:線框進入磁場的過程中,在任意時刻線框克服安培力做功的功率等于線框的電功率.
(2)若m=0.40kg,L=0.45m,h=0.80m,H=1.45m,且cd邊剛進入磁場時線框恰好做勻速運動,求cd邊剛穿出磁場時線框的加速度大小a1
(3)在第(2)問中,若線框剛進入磁場時對其施加一豎直方向外力F,使其能以a2=10.0m/s2的加速度豎直向下做勻加速運動,請在圖乙中作出線框abcd進入磁場的過程中外力F隨時間t變化的圖象.
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分析:(1)導線框cd邊在磁場中運動時,克服安培力做功的功率為:P=Fv,導線框消耗的電功率為:P=I2R,將感應電流I與速度v的關系代入,即可證明.
(2)cd邊剛進入磁場前自由下落,根據機械能守恒定律求出cd邊剛進入磁場時線框的速度.
線框完全進入磁場中,其磁通量不變,沒有感應電流產生,不受安培力,機械能守恒,根據機械能守恒求出cd邊剛穿出磁場時線框的速度,求出線框此時所受的安培力,再根據牛頓第二定律求加速度.
(3)若線框剛進入磁場時對其施加一豎直方向外力F,此時線框受到重力、安培力和F的作用,根據牛頓第二定律和安培力表達式F=
B2L2v
R
,速度公式v=v0+a2t,得到F與t的關系式,再作出圖象.
解答:精英家教網解:(1)設導線框cd邊剛進入磁場時的速度為v,則在cd邊進入磁場過程時產生的感應電動勢為:E=BLv,
根據閉合電路歐姆定律,導線框的感應電流為:I=
E
R

導線框受到的安培力為:F=BIL=
B2L2v
R
,
因cd剛進入磁場時導線框做勻速運動,所以有:F=mg,
以上各式聯(lián)立,得:v=
mgR
B2L2

導線框cd邊在磁場中運動時,克服安培力做功的功率為:P=Fv=
B2L2v
R
?v=
B2L2v2
R

導線框消耗的電功率為:P=I2R=(
BLv
R
2R=
B2L2v2
R

因此有:P=P
即線框進入磁場的過程中,在任意時刻線框克服安培力做功的功率等于線框的電功率.
(2)線框自由下落過程,有:
mgh=
1
2
mv2
,v=
2gh
=
2×10×0.8
=4m/s
設cd邊剛穿出磁場時線框速度為v′.
根據機械能守恒得:mg(H-L)=
1
2
mv2
-
1
2
mv2

得:v′=
v2+2g(H-L)
=
42+2×10×(1.45-0.45)
=6m/s
此時線框所受的安培力大小為:F=BIL=BL
BLv′
R
=
B2L2v′
R

根據牛頓第二定律得:F-mg=ma1
即:
B2L2v′
R
-mg=ma1
由上題有:v=
mgR
B2L2
=4m/s
得:
B2L2
R
=
1
4
mg

則得:
1
4
mg
v′-mg=ma1
解得:a1=0.5g=5m/s2
(3)線框在F外力作用下加速進入過程中,經t時刻速度為v,則該時刻有:
F+mg-
B2L2v″
R
=ma2
又v″=v+a2t
根據上述方程聯(lián)立,可得F=4+10t(t≤0.1s),在圖乙中作出線框abcd進入磁場的過程中外力F隨時間t變化的圖象如圖所示.
答:(1)證明見上.
(2)cd邊剛穿出磁場時線框的加速度大小a1為5m/s2
(3)作出線框abcd進入磁場的過程中外力F隨時間t變化的圖象如圖.
點評:本題是電磁感應中的力學問題,分析和計算安培力是解題的關鍵,要根據線框的運動情況,分析其受力情況,運用牛頓第二定律和電磁感應的相關規(guī)律求解.
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2l
t0
2l
t0
,t=
3
4
t0時刻線框的發(fā)熱功率P=
9F0l
4t0
9F0l
4t0

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