Question

如圖所示，ABCDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的

1

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圓周軌道，CDO是直徑為15m的半圓軌道．AB軌道和CDO軌道通過極短的水平軌道（長(zhǎng)度忽略不計(jì)）平滑連接．半徑OA處于水平位置，直徑OC處于豎直位置．一個(gè)小球P從A點(diǎn)的正上方高H處自由落下，從A點(diǎn)進(jìn)入豎直平面內(nèi)的軌道運(yùn)動(dòng)（小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)無機(jī)械能損失）．當(dāng)小球通過CDO軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力等于其重力的

23

3

倍，取g為10m/s²．求：
（1）高度H的大�。�
（2）小球沿軌道運(yùn)動(dòng)后再次落回軌道上時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律，通過豎直方向上的合力提供向心力，求出小球在C點(diǎn)時(shí)的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出高度H的大�。�
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球通過O點(diǎn)的速度，與O點(diǎn)的臨界速度進(jìn)行比較，判斷能否越過O點(diǎn)，若能越過O點(diǎn)，將做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)水平位移和豎直位移的關(guān)系求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出豎直方向上的分速度，根據(jù)平行四邊形定則求出落回軌道上時(shí)的速度大�。�

解答：解：（1）由題可知，小球在C點(diǎn)軌道對(duì)小球的支持力大小為

23

3

mg，
設(shè)此時(shí)小球的速度為v₁，
根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：

23

3

mg-mg=m

v 2 1

R 2

小球從P到C過程中，
由機(jī)械能守恒有：mg(H+R)=

1

2

m

v

2 1

由以上兩式解得：H=10m 
（2）設(shè)小球能到達(dá)O點(diǎn)，
由P到O過程中，機(jī)械能守恒，
設(shè)到O點(diǎn)的速度為v₂，
有：mgH=

1

2

m

v

2 2

解得：v2=

2gH

=

20g

設(shè)物體恰好到達(dá)軌道O點(diǎn)的速度大小為v₀，
根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，
有：mg=m

v 2 0

R 2

解得：v0=

15g 2

因?yàn)?nbsp; v₂＞v₀，所以小球能夠到達(dá)O點(diǎn) 
小球離開O點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
水平方向：x=v₂t 
豎直方向：y=

1

2

gt2
且有：x²+y²=R²
解得：t=1s
所以小球再次落到軌道上的速度v3=

v 2 2 +(gt)2

=10

3

m/s
答：（1）高度H的大小為10m．
（2）小球沿軌道運(yùn)動(dòng)后再次落回軌道上時(shí)的速度大小10

3

m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，考查了圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，難度中等，需加強(qiáng)這類題型的訓(xùn)練．