Question

地球以角速度ω₀繞地軸自轉(zhuǎn)，一只熱氣球相對(duì)地面靜止在赤道上空（不計(jì)氣球離地高度），已知地球半徑為R，在距地面h高處的圓形軌上有一顆人造地球衛(wèi)星，設(shè)地球質(zhì)量為M，熱氣球的質(zhì)量為m，人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量為m₁，根據(jù)上述條件，有一位同學(xué)列出了以下兩個(gè)式子：
對(duì)熱氣球有：G

Mm

R2

=mω₀²R   （1）
對(duì)人造地球衛(wèi)星有：G

Mm1

(R+h)2

=m1ω2(R+h)  （2）
進(jìn)而求出了人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的角速度ω．
這兩個(gè)式子中有一個(gè)是錯(cuò)誤的，找出來，并說明理由．現(xiàn)補(bǔ)充一個(gè)條件：已知第一宇宙速度為v₁，求距地h處的人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的角速度ω．

Answer 1

分析：對(duì)于熱氣球，熱氣球相對(duì)地面靜止在赤道上空，并不是繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，不能根據(jù)萬有引力等于向心力列式，氣球的整個(gè)條件都是沒用的，用來混淆視線的，這里的地球自轉(zhuǎn)的角速度無法通過氣球來求．
要求出人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的角速度ω，我們應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件后列出等式表示出GM．

解答：解：第一個(gè)等式（對(duì)熱氣球）不正確，
因?yàn)闊釟馇虿煌�于人造衛(wèi)星，并不是繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，熱氣球靜止在空中是因?yàn)楦×εc重力平衡．
若利用第一宇宙速度v₁，有：G

Mm′

R2

=m′

v12

R

與第二個(gè)等式聯(lián)立可得：ω=v1

R (R+h)3

答：第一個(gè)等式是不正確的，熱氣球靜止在空中是因?yàn)楦×εc重力平衡．距地h處的人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的角速度ω為v1

R (R+h)3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了萬有引力在天體中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于找出向心力的來源，并能列出等式解題．要注意熱氣球受地球的引力并不等于它繞地心所需的向心力．