Question

11．如圖所示，運(yùn)動(dòng)員穩(wěn)坐在水平光滑軌道車上以速率v₀向右運(yùn)動(dòng)．若運(yùn)動(dòng)員能以下列方式完成接球和拋球：接到水平相向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量為P、質(zhì)量為m的小球后，經(jīng)過(guò)△T時(shí)間再以同樣大小的動(dòng)量P將小球向右水平拋出，并緊接著不斷重復(fù)上述過(guò)程．最終運(yùn)動(dòng)員與軌道車停下來(lái)．設(shè)運(yùn)動(dòng)員與軌道車的總質(zhì)量為M．求運(yùn)動(dòng)員從第一次接球至停下來(lái)前進(jìn)的總路程．

Answer 1

分析 每次人接球和拋球的過(guò)程，人和球的總動(dòng)量守恒．在接與拋之間小車勻速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)動(dòng)量守恒定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別研究第一次接、第二接球…運(yùn)動(dòng)員的路程，運(yùn)用歸納法得到總路程．

解答 解：人接球過(guò)程中動(dòng)量守恒，共同速度設(shè)為v₁，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
   Mv₀-P=（M+m）v₁，得 v₁=$\frac{M{v}_{0}-P}{M+m}$
之后在△T時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)員通過(guò)的距離 s₁=v₁△T=$\frac{M{v}_{0}-P}{M+m}$△T
拋出球后的速度為  v₁′=$\frac{M{v}_{0}-2P}{M}$．
第二次過(guò)程：Mv₁′-P=（M+m）v₂，v₂=$\frac{M{v}_{0}-3P}{M+m}$
之后在△T時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)員通過(guò)的距離 s₂=v₂△T=$\frac{M{v}_{0}-3P}{M+m}$△T
拋出球后的速度為  v₂′=$\frac{M{v}_{0}-4P}{M}$
最后拋球后運(yùn)動(dòng)員與軌道車最終停止，設(shè)共k次過(guò)程，v_k′=0，Mv₀-2kP=0，k=$\frac{M{v}_{0}}{2P}$
運(yùn)動(dòng)員前進(jìn)的總路程為 s=s₁+s₂+…+s_k=$\frac{M{v}_{0}-P}{M+m}$△T+$\frac{M{v}_{0}-3P}{M+m}$△T+…=k$\frac{M{v}_{0}-kP}{M+m}$△T=$\frac{{M}^{2}{v}_{0}^{2}△T}{4P（M+m）}$
若最后一次接球后運(yùn)動(dòng)員與軌道車恰好靜止，不需再拋球，則 Mv₀-（2k-1）P=0
所以總路程為 s=s₁+s₂+…+s_k-1=（k-1）$\frac{M{v}_{0}-（k-1）P}{M+m}$△T=$\frac{{（M}^{2}{v}_{0}^{2}-{P}^{2}）△T}{4P（M+m）}$
答：運(yùn)動(dòng)員從第一次接球至停下來(lái)前進(jìn)的總路程為$\frac{{（M}^{2}{v}_{0}^{2}-{P}^{2}）△T}{4P（M+m）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題理清運(yùn)動(dòng)過(guò)程，善于建立模型，關(guān)鍵要運(yùn)用歸納法得到速度的表達(dá)式．