Question

如圖所示，兩個(gè)共軸金屬圓筒軸線O與紙面垂直，內(nèi)筒筒壁為網(wǎng)狀（帶電粒子可無(wú)阻擋地穿過(guò)網(wǎng)格），半徑為R．內(nèi)圓筒包圍的空間存在一沿圓筒軸線方向指向紙內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．當(dāng)兩圓筒之間加上一定電壓后，在兩圓筒間的空間可形成沿半徑方向這指向軸線的電場(chǎng)．一束質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子自內(nèi)圓筒壁上的A點(diǎn)沿內(nèi)圓筒半徑射入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)進(jìn)入電場(chǎng)后所有粒子都剛好不與外筒相碰．試問(wèn)：
（1）要使粒子在最短時(shí)間內(nèi)再次到達(dá)A點(diǎn)，粒子的速度應(yīng)是多少？再次到達(dá)A點(diǎn)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間是多長(zhǎng)？
（2）要使粒子在磁場(chǎng)中圍繞圓筒的軸線O運(yùn)動(dòng)一周時(shí)恰能返回A點(diǎn)，則內(nèi)、外筒之間的電壓需滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）設(shè)帶電粒子自A點(diǎn)沿內(nèi)圓筒半徑方向射入磁場(chǎng)時(shí)的速度用v表示，進(jìn)入磁場(chǎng)后，在洛侖茲力作用下粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，并從內(nèi)筒表面上的A₁點(diǎn)射出磁場(chǎng)，射出磁場(chǎng)時(shí)的速度大小仍為v，方向沿過(guò)A₁點(diǎn)的內(nèi)圓筒半徑方向，如圖所示．粒子自A₁射出磁場(chǎng)后便進(jìn)入兩圓筒間的電場(chǎng)中，在電場(chǎng)力的作用下，粒子做減速直線運(yùn)動(dòng)，剛到達(dá)外圓筒的內(nèi)壁時(shí)，速度恰好減至零．然后粒子又在電場(chǎng)力作用下向A₁點(diǎn)做加速運(yùn)動(dòng)，回到時(shí)，粒子速度增大到v，并以此速度沿圓筒內(nèi)圓半徑方向第二次進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)的洛侖茲力作用下，粒子又做圓周運(yùn)動(dòng)，并從A₂點(diǎn)射出磁場(chǎng)．此后，粒子又再一次在電場(chǎng)中減速，到達(dá)外壁時(shí)調(diào)轉(zhuǎn)方向加速回到A₂點(diǎn)，從A₂點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，再做圓周運(yùn)動(dòng)并從A₃點(diǎn)射出磁場(chǎng)．這一過(guò)程多次重復(fù)到最后，粒子再次從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)．要使粒子在最短時(shí)間內(nèi)再次到達(dá)A點(diǎn)，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最小，且在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)的次數(shù)最少，可知，粒子進(jìn)入電場(chǎng)兩次，根據(jù)軌跡的形狀和幾何知識(shí)求出軌跡的半徑，由牛頓第二定律求解速度，根據(jù)軌跡的圓心角求時(shí)間．
（2）要使粒子在磁場(chǎng)中圍繞圓筒的軸線O運(yùn)動(dòng)一周時(shí)恰能返回A點(diǎn)，設(shè)粒子進(jìn)入電場(chǎng)共n次，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求得其速率，再根據(jù)動(dòng)能定理求出電壓應(yīng)滿足的條件．

解答：解：（1）設(shè)帶電粒子自A點(diǎn)沿內(nèi)圓筒半徑方向射入磁場(chǎng)時(shí)的速度用v表示，進(jìn)入磁場(chǎng)后，在洛侖茲力作用下粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子第三次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最小，所用時(shí)間最短，由幾何知識(shí)得：此時(shí)軌跡的圓心角φ=180°-120°=60°
  則軌跡半徑為 r=Rtan60°=

3

R
根據(jù)牛頓第二定律得：qvB=m

v2

r

聯(lián)立解得，v=

3 qBR

m

運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為t_min=3×

1

6

T=

1

2

?

2πm

qB

=

πm

qB

（2）設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)到從A₁點(diǎn)射出磁場(chǎng)繞圓心o’轉(zhuǎn)過(guò)的角度為Ф，過(guò)A點(diǎn)和A₁點(diǎn)的內(nèi)圓筒半徑對(duì)其軸線o的張角為θ，如圖所示．有 Φ+θ=π ①
要使粒子在磁場(chǎng)中圍繞圓筒的軸線O運(yùn)動(dòng)一周時(shí)恰能返回A點(diǎn)，若粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)n次偏轉(zhuǎn)后能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，應(yīng)滿足條件nθ=2π ②（n=3，4，5…）
解得θ=

2π

n

 ③
連結(jié)圖中的OO′，由直角三角形AOO′可得：tan

1

2

θ=

r

R

 ④
因r是粒子在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，有r=

mv

qB

 ⑤
由③④⑤式得到粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v=

qBR

m

tan

π

n

 ⑥
 設(shè)加在兩圓筒間的電壓為U，由能量守恒有
   qU=

1

2

mv2  ⑦
由⑥⑦解得，U=

R2B2q

2m

tan2

π

n

（n=3，4，5…）
答：
（1）要使粒子在最短時(shí)間內(nèi)再次到達(dá)A點(diǎn)，粒子的速度應(yīng)是

3 qBR

m

，再次到達(dá)A點(diǎn)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間是

πm

qB

．
（2）要使粒子在磁場(chǎng)中圍繞圓筒的軸線O運(yùn)動(dòng)一周時(shí)恰能返回A點(diǎn)，則內(nèi)、外筒之間的電壓需滿足條件是U=

R2B2q

2m

tan2

π

n

（n=3，4，5…）．

點(diǎn)評(píng)：本題是有界磁場(chǎng)的問(wèn)題，要充分運(yùn)用幾何知識(shí)畫出軌跡、分析和求解軌跡半徑和圓心角，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力，難度較大．