Question

3．如圖所示，一質(zhì)量M=2m、長(zhǎng)為l=6.5R的木板P靜止在光滑水平面上，在其右側(cè)有一固定平臺(tái)Q，Q的左端與P等高，Q上固定一高度大于R的光滑斜面，斜面底邊與Q水平相切．P最左端與一半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑、固定圓弧最低端相切．兩質(zhì)量均為m、可看成質(zhì)點(diǎn)的滑塊甲和乙，將乙置于P的最左端，甲于左端圓弧頂端B處以v₀=$\sqrt{7gR}$的初速度豎直向下滑出，當(dāng)甲滑到斜面底端時(shí)與乙發(fā)生完全彈性碰撞，求：
（1）滑塊到達(dá)圓弧最低端時(shí)對(duì)A點(diǎn)的壓力；
（2）甲與乙碰撞后的速度各是多？
（3）乙滑塊滑出后，P在乙滑塊的作用下向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到Q左端時(shí)被牢固粘連，已知P右端到木塊Q的距離L滿足R＜L＜5R，乙滑塊與P的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，試討論滑塊滑上右端的斜面后能上升的高度h．

Answer 1

分析 （1）滑塊甲在圓弧上下滑的過(guò)程中，只有重力做功，運(yùn)用動(dòng)能定理求出滑塊甲滑到A點(diǎn)的速度大�。�在A點(diǎn)，由合力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大�。�再得到滑塊甲對(duì)軌道的壓力．
（2）當(dāng)甲滑到斜面底端時(shí)與乙發(fā)生完全彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能守恒列式，求出碰后兩者的速度．
（3）滑塊乙在P上滑行的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出滑塊乙和P達(dá)到的共同速度，結(jié)合動(dòng)能定理分別求出滑塊乙和P的位移大小，判斷出滑塊乙與P達(dá)到相同速度時(shí)，是否離開(kāi)P，從而得到P到Q左端時(shí)被牢固粘連時(shí)乙的速度，再由機(jī)械能守恒定律求滑塊滑上右端的斜面后能上升的高度h．

解答 解：（1）設(shè)滑塊甲剛滑到A點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，根據(jù)動(dòng)能定理有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 v₁=3$\sqrt{gR}$．
 在A點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：F_N=10mg．
根據(jù)牛頓第三定律得滑塊乙到達(dá)圓弧最低端時(shí)對(duì)A點(diǎn)的壓力是10mg．
（2）當(dāng)甲滑到斜面底端時(shí)與乙發(fā)生完全彈性碰撞，設(shè)碰后甲、乙兩滑塊的速度分別為v₂和v₃．
取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能守恒分別得：
mv₁=mv₂+mv₃．
$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$mv₃²．
解得：v₂=0，v₃=v₁=3$\sqrt{gR}$．
（3）滑塊乙滑上木板P后開(kāi)始做勻減速運(yùn)動(dòng)，P開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)兩者達(dá)到的共同速度為v₄．規(guī)定v₃的方向?yàn)檎�方向，根�?jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv₃=（m+M）v₄，
解得：v₄=$\sqrt{gR}$．
對(duì)滑塊乙，根據(jù)動(dòng)能定理有：-μmgl₁=$\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
對(duì)木板P，根據(jù)動(dòng)能定理有：μmgl₂=$\frac{1}{2}$Mv₄²-0，
解得：l₁=8R，l₂=2R，
物塊相對(duì)滑板的位移△l=l₂-l₁＜l，
即物塊與滑板達(dá)到相同速度時(shí)，物塊未離開(kāi)滑板，
討論：
①當(dāng)R＜L＜2R，滑塊乙在P上一直勻減速運(yùn)動(dòng)至，運(yùn)動(dòng)的位移為6.5R+L，
設(shè)乙滑至Q時(shí)速度為v_Q，根據(jù)動(dòng)能定理有：-μmg（6.5R+L）=$\frac{1}{2}$mv_Q²-$\frac{1}{2}$mv₃²，
滑塊滑上右端斜面的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_Q²=mgh
解得：$\frac{1}{4}$R＜h＜$\frac{3}{4}$R．
②當(dāng)2R≤L＜5R，滑塊乙先勻減速運(yùn)動(dòng)8R，然后勻速運(yùn)動(dòng)L-2R，再勻減速運(yùn)動(dòng)0.5R，設(shè)滑上Q時(shí)的速度為v_Q′
根據(jù)動(dòng)能定理有：-μmg（8R+0.5R）=$\frac{1}{2}$mv_Q′²-$\frac{1}{2}$mv₃²，
滑塊滑上右端斜面的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_Q′²=mgh
解得：h=$\frac{35}{4}$R．
答：（1）滑塊到達(dá)圓弧最低端時(shí)對(duì)A點(diǎn)的壓力是10mg；
（2）甲與乙碰撞后的速度各是0和3$\sqrt{gR}$．
（3）當(dāng)當(dāng)R＜L＜2R時(shí)得 $\frac{1}{4}$R＜h＜$\frac{3}{4}$R．②當(dāng)2R≤L＜5R，h=$\frac{35}{4}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要理清滑塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，判斷滑塊乙與P木板在達(dá)到相同共同速度時(shí)，滑塊未離開(kāi)P木板是關(guān)鍵．