Question

20．如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點，用水平恒力將質量為m的質點從靜止開始推到B處后撤去恒力，質點沿半圓軌道運動到C處后又正好落回A點，則當x=4R時，此過程中施加的推力最小，最小值為mg （ 提示：a+b≥2$\sqrt{ab}$）

Answer 1

分析 對AC運動過程應用動能定理，得到在C點的速度；然后根據(jù)C到A做平拋運動，聯(lián)立得到F的表達式，進而求得最小值．

解答 解：質點從A到C的運動過程只有重力、推力作用，故由動能定理可得：$Fx-2mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
質點要達到C點，那么由牛頓第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}^{2}}{R}$，$v≥\sqrt{gR}$；
質點從C到A做平拋運動，故有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$x=vt=2v\sqrt{\frac{R}{g}}$；
所以，$F=\frac{2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}}{x}=\frac{2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}}{2v\sqrt{\frac{R}{g}}}$=$\sqrt{\frac{g}{R}}（\frac{mgR}{v}+\frac{mv}{4}）$，
所以，當$\frac{mgR}{v}=\frac{mv}{4}$，即$v=2\sqrt{gR}$時，x=4R，F(xiàn)最小，最小值${F}_{min}=\sqrt{\frac{g}{R}}•2×\frac{1}{2}m\sqrt{gR}=mg$；
故答案為：4R；mg．

點評 經(jīng)典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．