Question

7．如圖所示，一輕質(zhì)光滑剛性細(xì)管，一端連接在光滑固定軸O上，可以繞軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)．細(xì)管足夠長(zhǎng)且直徑很�。�管內(nèi)有兩個(gè)直徑（略小于管的直徑）相同的小球a和b，小球a固定在一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)桿一端，桿的另一端用鉸鏈連接在O上，小球a和小球b通過(guò)一輕質(zhì)彈簧連接，彈簧的原長(zhǎng)為1.5L．小球a、b的質(zhì)量分別為m和3m，開始時(shí)將細(xì)管置于水平位置，并用力推小球b壓縮彈簧，使a、b間距離為L(zhǎng)，現(xiàn)撤去推力并由靜止釋放此裝置，當(dāng)細(xì)管轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直位置時(shí)，小球a、b間距離為2L，不計(jì)兩小球的大小和一切阻力．求：
（1）細(xì)管豎直時(shí)小球a的速度大�。�
（2）從靜止釋放到細(xì)管豎直的過(guò)程中，輕桿和細(xì)管對(duì)小球a的合力做的功W．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球a、b及彈簧系統(tǒng)從水平到豎直的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理，根據(jù)豎直方向時(shí)，a，b的速度和到轉(zhuǎn)軸的距離成正比即可求解；
（2）對(duì)小球a從水平到豎直的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可．

解答 解：（1）彈簧的原長(zhǎng)為1.5L；水平位置時(shí)a、b間距離為L(zhǎng)；當(dāng)細(xì)管轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直位置時(shí)，小球a、b間距離為2L；故彈簧的形變量不變，彈性勢(shì)能不變；
在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有重力、彈力做功，設(shè)細(xì)管豎直時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω，則由動(dòng)能定理可得：$mgL+3mg•3L=\frac{1}{2}m（ωL）^{2}+\frac{1}{2}3m（3ωL）^{2}$，即$10mgL=14m（ωL）^{2}=14m{{v}_{a}}^{2}$，所以，${v}_{a}=\sqrt{\frac{5gL}{7}}$；
（2）從靜止釋放到細(xì)管豎直的過(guò)程中，小球a受輕桿和細(xì)管對(duì)小球a的合力及重力、彈簧彈力作用；又有彈簧的形變量不變，彈性勢(shì)能不變，故彈簧彈力做功為零；
那么，由動(dòng)能定理可得：$mgL+W=\frac{1}{2}m{{v}_{a}}^{2}=\frac{5mgL}{14}$，所以，$W=-\frac{9}{14}mgL$；
答：（1）細(xì)管豎直時(shí)小球a的速度大小為$\sqrt{\frac{5gL}{7}}$；
（2）從靜止釋放到細(xì)管豎直的過(guò)程中，輕桿和細(xì)管對(duì)小球a的合力做的功W為$-\frac{9}{14}mgL$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．