Question

一個密閉容器內盛有水（未滿），處于平衡狀態(tài)．已知水在14℃時的飽和蒸氣壓為12.0mmHg．設水蒸氣分子碰到水面時都變成水，氣體分子的平均速率與氣體的熱力學溫度的平方根成正比，試近似計算在100℃和14℃時，單位時間內通過單位面積水面的蒸發(fā)變成水蒸氣分子之比

n100

n14

等于多少？（取一位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：在給定的溫度壓強下水的飽和蒸汽壓是可以通過實驗測出來的．測得水的飽和蒸汽壓后，由理想氣體方程出發(fā)可以得到該溫度壓強下水的飽和蒸汽的濃度（指的是單位體積內的水分子的物質的量）．假設水的飽和蒸汽產生的分壓為P₀，根據(jù)公式P₀V=nRT 得 濃度a=

n

V

=

P0V RT

V

=

P0

RT

從氣體的熱統(tǒng)計學角度求出單位時間內的凝結速率，我們也就得到了水在該溫度壓強下的蒸發(fā)速率．為了計算這個具體數(shù)值，我們將空氣分子視為以各自的速度運動的剛性小球，在該的假設條件下，單位時間內能夠與液面相撞的小球的數(shù)量可以認為是水的凝結速率，該速率等于水的蒸發(fā)速率．

解答：解：根據(jù)克拉伯龍方程公式P₀V=nRT 得水蒸氣在T K時單位體積內的水蒸氣的分子的量
a=

n

V

=

P0V RT

V

=

P0

RT

    ①
單位體積內分子的個數(shù)：N=N_a?a   ②
空氣分子視為以各自的速度運動的剛性小球，在該的假設條件下，單位時間內能夠與液面相撞的小球的數(shù)量可以認為是水的凝結速率，該速率等于水的蒸發(fā)速率．
選取以液面為底面積的邊長L=1m立方體空氣柱為研究對象，以垂直液面的方向為X軸建立坐標系，則由于要研究的水蒸氣的數(shù)目巨大，沿各個方向運動的粒子的數(shù)目近似相同，所以有近似

1

6

N的水分子是向著水面運動的，
所以向著水面運動的分子全部落入水中的時間：t=

1

. v

    ③
又有題目知：平均速率與氣體的熱力學溫度的平方根成正比，即：

.

v

∝

T

=k

T

     ④
所以單位時間內落入水面的分子的數(shù)目：n0=

1 6 N

t

=

1

6

N?

.

v

=

1

6

N?k

T

已知水在14℃（287K）時的飽和蒸氣壓為12.0mmHg．在100℃（373K）時的飽和蒸汽壓是760.0mmHg．
所以：

n100

n14

=

1 6 N100?k T100

1 6 N14?k T14

=

Na?a100? T100

Na?a14? T14

=

P100 RT100 ? T100

P14 RT14 T14

=

P100

P14

?

T14

T100

=

760.0

12.0

?

287

373

=

55.55

1

答：單位時間內通過單位面積水面的蒸發(fā)變成水蒸氣分子之比

n100

n14

等于55.55．

點評：該題的難點是建立一個模型：將水分子視為剛性小球，讓單位體積內的水分子穿過某一面積，單位時間內落入水面的分子的數(shù)目，即為單位時間內通過單位面積水面的蒸發(fā)變成水蒸氣分子數(shù)目．該模型類似于氣體壓強的微觀解釋．