Question

如圖8－55所示，半徑為r，質(zhì)量不計(jì)的圓盤(pán)盤(pán)面與地面垂直，圓心處有一個(gè)垂直盤(pán)面的光滑水平定軸O，在盤(pán)的右邊緣固定

的小球B，放開(kāi)盤(pán)讓其自由轉(zhuǎn)動(dòng)．問(wèn)：

(1)當(dāng)A轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，兩小球的重力勢(shì)能之和減少了多少？

(2)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線(xiàn)速度是多少？

(3)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？

Answer 1

(1)兩球重力勢(shì)能之和減少了

(2)

(3)設(shè)半徑OA向左偏離豎直線(xiàn)的最大角度為θ，

解析:

兩小球重力勢(shì)能之和的減少，可選取任意參考平面為零勢(shì)能參考平面進(jìn)行計(jì)算．由于圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，只有兩小球重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可列式算出A球的線(xiàn)速度和半徑OA的最大偏角．

 (1)以通過(guò)轉(zhuǎn)軸O的水平面為零勢(shì)能面，開(kāi)始時(shí)兩球重力勢(shì)能之和為

當(dāng)A球轉(zhuǎn)至最低點(diǎn)時(shí)兩球重力勢(shì)能之和為

Ep2＝EpA＋EpB＝－mgr＋0＝－mgr，

故兩球重力勢(shì)能之和減少了

(2)由于圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，只有兩球重力做功，機(jī)械能守恒，因此兩球重力勢(shì)能之和的減少一定等于兩球動(dòng)能的增加，設(shè)A球轉(zhuǎn)至最低點(diǎn)，A、B兩球的線(xiàn)速度分別為vA，vB，則

因A、B兩球固定在同一圓盤(pán)上，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的角速度ω相同．由

(3)設(shè)半徑OA向左偏離豎直線(xiàn)的最大角度為θ，如圖8－56，該位置系統(tǒng)的機(jī)械能與開(kāi)始時(shí)的機(jī)械能分別為

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律E1＝E3，即

兩邊平方得　　　　　 4(1－sin2θ)＝1＋sin2θ＋2sinθ，

所以　　　　　　　　　　　 5sin2θ＋2sinθ－3＝0，

[小結(jié)] 系統(tǒng)的始態(tài)、末態(tài)的重力勢(shì)能，因參考平面的選取會(huì)有所不同，但是重力勢(shì)能的變化卻是絕對(duì)的，不會(huì)因參考平面的選取而異．機(jī)械能守恒的表達(dá)方式可以記為

Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，

也可以寫(xiě)作：ΔEk增＝ΔEp減．本題采用的就是這種形式．