Question

如圖所示，半徑R=0.2 m的光滑四分之一圓軌道PQ豎直固定放置，末端Q與一長(zhǎng)L = 0.8m的水平傳送帶相切，水平銜接部分摩擦不計(jì)，傳動(dòng)輪(輪半徑很小)作順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)傳送帶以恒定的速度v₀運(yùn)動(dòng)。傳送帶離地面的高度h =1.25 m，其右側(cè)地面上有一直徑D = 0.5 m的圓形洞，洞口最左端的A點(diǎn)離傳送帶右端的水平距離s=1m, B點(diǎn)在洞口的最右端。現(xiàn)使質(zhì)量為m=0.5 kg的小物塊從P點(diǎn)由靜止開(kāi)始釋放，經(jīng)過(guò)傳送帶后做平拋運(yùn)動(dòng)，最終落入洞中，傳送帶與小物塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ ＝ 0.5。g取10m/s²。求：

(1)小物塊到達(dá)圓軌道末端Q時(shí)對(duì)軌道的壓力；

(2)若v₀ =3m/s，求物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間T；

(3)若要使小物塊能落入洞中，求v₀應(yīng)滿足的條件。

 

Answer 1

【答案】

　(1) 15 N，方向豎直向下 (2) 0.3 s(3) 2m/s <v₀<3m/s

【解析】　(1)設(shè)物塊滑到圓軌道末端速度v₁，物塊在軌道末端所受支持力的大小為N

根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mgR ＝mv   根據(jù)牛頓第二定律得 N－mg ＝ m

聯(lián)立以上兩式代入數(shù)據(jù)得：N＝ 15 N

根據(jù)牛頓第三定律，對(duì)軌道壓力大小為15 N，方向豎直向下

(2)物塊在傳送帶上加速運(yùn)動(dòng)時(shí)， 由μmg ＝ ma , 得a ＝ μg＝5m/s²

加速到與傳送帶達(dá)到同速所需要的時(shí)間t₁ ＝ ＝ 0.2 s

位移s₁ ＝t₁ ＝ 0.5 m <L     勻速時(shí)間t₂ ＝ ＝ 0.1 s

故T ＝ t₁ ＋ t₂ ＝ 0.3 s

(3)物塊離開(kāi)傳送帶右端后做平拋運(yùn)動(dòng)，  則h ＝gt²恰好落到A點(diǎn)　s ＝ v₂t　　

得v₂ ＝ 2m/s    恰好落到B點(diǎn)　D ＋ s ＝ v₃t　　得v₃ ＝ 3m/s 

故v₀應(yīng)滿足的條件是2m/s <v₀<3m/s

本題考查機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律的應(yīng)用，從N點(diǎn)到N點(diǎn)只有重力做功，機(jī)械能守恒，設(shè)最低點(diǎn)為零勢(shì)能面根據(jù)動(dòng)能定理可求得到傳送帶左端的速度，在N點(diǎn)為圓周運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)，由支持力和重力的合力提供向心力，由此可求得支持力大小，物塊在傳送帶上由滑動(dòng)摩擦力提供加速度，物體的速度大于傳送帶速度，所受滑動(dòng)摩擦力向左，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)減速到與傳送帶速度相同時(shí)隨著傳送帶一起運(yùn)動(dòng)，根據(jù)這兩個(gè)過(guò)程的位移關(guān)系可分別求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，離開(kāi)傳送帶后物體做平拋運(yùn)動(dòng)，由豎直高度決定運(yùn)動(dòng)時(shí)間和水平方向勻速運(yùn)動(dòng)可求得水平速度的取值范圍