Question

設(shè)想宇航員完成了對(duì)火星表面的科學(xué)考察任務(wù)，乘坐返回艙返回圍繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道艙，如圖所示．為了安全，返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)，必須具有相同的速度．已知返回艙返回過(guò)程中需克服火星的引力做功W=mgR(1-

R

r

)，返回艙與人的總質(zhì)量為m，火星表面的重力加速度為g，火星的半徑為R，軌道艙到火星中心的距離為r．已知引力常量為G，求：
（1）火星的質(zhì)量；
（2）火星的第一宇宙速度大�。�
（3）軌道艙的運(yùn)行速度大�。�
（4）火星表面大氣阻力和返回艙的初速度不計(jì)，則該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得多少能量才能返回軌道艙？

Answer 1

分析：根據(jù)火星表面的重力等于萬(wàn)有引力求解火星的質(zhì)量．
研究軌道艙繞衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求解運(yùn)行速度．
根據(jù)能量守恒求解返回軌道艙至少需要獲得的能量．

解答：解：（1）根據(jù)火星表面的重力等于萬(wàn)有引力得：

GMm

R2

=mg
M=

gR2

G

（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：
第一宇宙速度大小v=

GM R

=

gR

（3）軌道艙繞衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：

GMm

r2

=m

v2

r

v=

GM r

=

gR2 r

（4）宇航員乘坐返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)，具有的動(dòng)能為
E_k=

1

2

mv²=

mgR2

2r

因?yàn)榉祷嘏摲祷剡^(guò)程克服引力做功W=mgR(1-

R

r

)
所以返回艙返回時(shí)至少需要能量mgR(1-

R

r

)+

mgR2

2r

．
答：（1）火星的質(zhì)量是

gR2

G

；
（2）火星的第一宇宙速度大小是

gR

；
（3）軌道艙的運(yùn)行速度大小是

mgR2

2r

；
（4）該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得mgR(1-

R

r

)+

mgR2

2r

能量才能返回軌道艙．

點(diǎn)評(píng)：向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．
忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式．