Question

4．如圖所示，A、B是兩塊豎直放置的平行金屬板，相距為2l，分別帶有等量的負(fù)、正電荷，在兩板間形成電場強度大小為E的勻強電場，A板上有一小孔（它的存在對兩板間勻強電場分布的影響可忽略不計），孔的下沿右側(cè)有一條與板垂直的水平光滑絕緣軌道，一個質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的小球（可視為質(zhì)點），在外力作用下靜止在軌道的中點P處．孔的下沿左側(cè)也有一與板垂直的水平光滑絕緣軌道，軌道上距A板l處有一固定檔板，長為l的輕彈簧左端固定在擋板上，右端固定一塊輕小的絕緣材料制成的薄板Q．撤去外力釋放帶電小球，它將在電場力作用下由靜止開始向左運動，穿過小孔（不與金屬板A接觸）后與薄板Q一起壓縮彈簧，由于薄板Q及彈簧的質(zhì)量都可以忽略不計，可認(rèn)為小球與Q接觸過程中不損失機械能．小球從接觸 Q開始，經(jīng)歷時間T0第一次把彈簧壓縮至最短，然后又被彈簧彈回．由于薄板Q的絕緣性能有所欠缺，使得小球每次離開彈簧的瞬間，小球的電荷量都損失一部分，而變成剛與彈簧接觸時小球電荷量的$\frac{1}{k}$（k＞1）．求：
（1）小球第一次接觸Q時的速度大小；
（2）假設(shè)小球第n次彈回兩板間后向右運動的最遠處沒有到達B板，試導(dǎo)出小球從第n次接觸Q到本次向右運動至最遠處的時間T₀的表達式；
（3）假設(shè)小球經(jīng)若干次回彈后向右運動的最遠點恰好能到達B板，求小球從開始釋放至剛好到達B點經(jīng)歷的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合速度位移公式求出小球第一次接觸Q時的速度大�。�
（2）小球從第n次接觸Q，到本次向右運動至最遠處的時間包括兩部分，一部分是小球從接觸Q開始，經(jīng)歷時間To第一次把彈簧壓縮至最短，然后又被彈簧彈回，另一部分是離開Q向右做減速運動的過程．根據(jù)運動學(xué)公式進行求解．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再根據(jù)運動學(xué)公式求解第一次接觸Q時的速度大�。�小球從第N次接觸Q，到本次向右運動至最遠處的時間包括兩部分，一部分是小球從接觸Q開始，經(jīng)歷時間T₀第一次把彈簧壓縮至最短，然后又被彈簧彈回，另一部分是離開Q向右做減速運動的過程．根據(jù)運動學(xué)公式進行求小球從第N次接觸Q，到本次向右運動至最遠處的時間T_N的表達式，再求總時間．

解答 解：（1）設(shè)小球第一次接觸Q的速度為v，接觸Q前的加速度為a．
根據(jù)牛頓第二定律有：qE=ma 
對于小球從靜止到與Q接觸前的過程，根據(jù)運動學(xué)公式有：v²=2al
聯(lián)立解得：v=$\sqrt{\frac{2q{E}_{1}}{m}}$．
（2）小球每次離開Q的瞬時速度大小相同，且等于小球第一次與Q接觸時速度大小．
設(shè)小球第1次離開Q向右做減速運動的加速度為a₁，速度由v減為零所需時間為t₁，
小球離開Q所帶電荷量為q₁．
根據(jù)牛頓第二定律有：q₁E=ma₁
根據(jù)運動學(xué)公式有：t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$，
根據(jù)題意可知小球第1次離開Q所帶電荷量為：q₁=$\frac{q}{k}$，
聯(lián)立解得：t₁=$\frac{mv}{qE}$k．
設(shè)小球第2次離開Q向右做減速運動的加速度為a₂，速度由v減為零所需時間為t₂，
小球離開Q所帶電荷量為q₂．
同理q₂E=ma₂，t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$，q₂=$\frac{q}{{k}^{2}}$，
聯(lián)立解得：t₂=$\frac{mv}{qE}$k²，
設(shè)小球第n次離開Q向右做減速運動的加速度為a_n，速度由v減為零所需時間為t_n，
小球離開Q所帶電荷量為q_n．
同理有：q_nE=ma_n，t_n=$\frac{v}{{a}_{n}}$，q_n=$\frac{q}{{k}^{n}}$．
聯(lián)立解得：t_n=$\frac{mv}{qE}$kⁿ，
小球從第n次接觸Q，到本次向右運動至最遠處的時間為：T_n=2T₀+$\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$kⁿ．
（3）設(shè)小球經(jīng)N次回彈后向右運動的最遠點恰好能到達B板，
由上分析，則有，小球從第N次接觸Q，到本次向右運動至最遠處的時間為：
T_N=2T₀+$\sqrt{\frac{2qEl}{m}}$k^N，
故小球從開始運動到被第N次彈回兩板間向右運動到達B板的總時間為：
T=T₁+T₂+…T_N=2NT₀+$\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$（1+2k+2k²+2k³+…+2k ^N-1+k^N）
答：（1）小球第一次接觸Q時的速度大小$\sqrt{\frac{2q{E}_{1}}{m}}$；
（2）小球從第n次接觸Q到本次向右運動至最遠處的時間T₀的表達式2T₀+$\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$kⁿ；
（3）小球從開始釋放至剛好到達B點經(jīng)歷的時間2NT₀+$\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$（1+2k+2k²+2k³+…+2k ^N-1+k^N）．

點評 了解研究對象的運動過程是解決問題的前提，根據(jù)題目已知條件和求解的物理量選擇物理規(guī)律解決問題．要注意小球運動過程中各個物理量的變化．