Question

5．如圖所示，在光滑的水平平臺上有一質(zhì)量 m=0.1kg的小球壓縮輕質(zhì)彈簧（ 小球與 彈簧不拴連） 使其具有 Eb=0.2J的彈性勢能，平臺的 B端連接兩個半徑都為 R且內(nèi)壁都 光滑的四分之一細圓管 BC及細圓管 CD，圓管內(nèi)徑略大于小球直徑，B點和 D點都與水平 面相切． 在地面的 E處有一小圓�。� 圖中未畫出，小球在經(jīng)過 E處時的動能不損失） 且安裝了一個可改變傾角的長斜面EF，已知地面DE長度為0.3m且與小球間的動摩擦因數(shù)?_l=0.5，小球與可動斜面 EF間的動摩擦因數(shù) ?₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$． 現(xiàn)釋放小球，小球彈出后進入細圓管，運動到 B點時對上管壁有 F_N=1N的彈力．求：

（1）細圓管的半徑 R；
（2）小球經(jīng)過 D點時對管壁的壓力大小；
（3）當斜面 EF與地面的傾角θ（在 0～90°范圍內(nèi)）為何值時，小球沿斜面上滑的長度最短？并求出最短長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)能量守恒求出小球到達B點的速度，結合牛頓第二定律，通過小球?qū)�B點的彈力求出細圓管的半徑．
（2）對B到D運用動能定理，求出D點的速度，結合牛頓第二定律求出小球經(jīng)過 D點時對管壁的壓力大�。�
（3）根據(jù)動能定理求出小球在EF上上滑長度的表達式，結合數(shù)學三角函數(shù)求出最短長度．

解答 解：（1）根據(jù)能量守恒得，${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得v_B=2m/s．
在B點，根據(jù)牛頓第二定律得，${F}_{N}+mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得R=0.2m．
（2）對B到D，根據(jù)動能定理得，$mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
由牛頓第二定律得，${F}_{D}-mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得F_D=7N．
（3）從B開始，到運動至斜面上的最高處，根據(jù)動能定理得，
mg•2R-μ₁mgL_DE-mgssinθ-μ₂mgcosθs=$0-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得s=$\frac{1.35}{3sinθ+\sqrt{3}cosθ}=\frac{1.35}{2\sqrt{3}sin（θ+30°）}$，
當θ=60°時，s有最大值，${s}_{m}=\frac{9\sqrt{3}}{40}m≈0.39m$．
答：（1）細圓管的半徑為0.2m；
（2）小球經(jīng)過 D點時對管壁的壓力大小為7N；
（3）當斜面 EF與地面的傾角θ（在 0～90°范圍內(nèi)）為60°時，s有最大值，最大值為0.39m．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律的綜合運用，知道小球做圓周運動向心力的來源，對于第三問，對數(shù)學能力要求較高，關鍵得出關系式，結合三角函數(shù)進行求解．