精英家教網(wǎng)一宇航員到達(dá)半徑為R,密度均勻的某星球表面,做如下實(shí)驗(yàn),用不可伸長的輕繩拴一質(zhì)量為m的小球,上端固定在O點(diǎn),如圖甲所示,在最低點(diǎn)給小球某一初速度,使其繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),測得繩的拉力大小隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖乙所示,F(xiàn)1=7F2,設(shè)R、m、引力常量G、F1、F2均為己知量,忽略各種阻力,以下說法正確的是( 。
A、小球在最高點(diǎn)的最小速度為零
B、衛(wèi)星繞該星的第一宇宙速度為
RF1
m
C、該星球表面的重力加速度為
F1
7m
D、星球的質(zhì)量為
F1R2
Gm
分析:(1)對砝碼受力分析,在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí),由向心力的公式和整個(gè)過程的機(jī)械能守恒可以求得重力加速度的大小;
(2)根據(jù)萬有引力提供向心力可以求得星球的第一宇宙速度.
(3)求得星球表面的重力加速度的大小,再由在星球表面時(shí),萬有引力和重力近似相等,可以求得星球的質(zhì)量;
(4)對小球在最高點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律分析求解問題.
解答:解:A、小球在最高點(diǎn)受重力和繩子拉力,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得:
  F2+mg=m
v22
R
≥mg
所以小球在最高點(diǎn)的最小速v2
gR
.故A錯(cuò)誤;
B、設(shè)砝碼在最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力為F1,速度為v1,則
  F1-mg=m
v12
R
 ①
設(shè)砝碼在最高點(diǎn)細(xì)線的拉力為F2,速度為v2,則
  F2+mg=m
v22
R

由機(jī)械能守恒定律得 mg2r+
1
2
mv22=
1
2
mv12  ③
由①、②、③解得
  g=
F1-F2
6m

解得:F1=7F2,
所以該星球表面的重力加速度為
F1
7m

根據(jù)萬有引力提供向心力得:
mv2
R
=mg
衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為v=
gR
=
RF1
7m
,故B錯(cuò)誤,C正確.
D、在星球表面,萬有引力近似等于重力
 G
Mm′
R2
=m′g      ⑤
由④、⑤解得
  M=
F1R2
7Gm
,故D錯(cuò)誤.
故選:C.
點(diǎn)評:根據(jù)砝碼做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,找出向心力的大小,可以求得重力加速度,
知道在星球表面時(shí),萬有引力和重力近似相等,而貼著星球的表面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),物體的重力就作為做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.
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(1)該星球表面的重力加速度g.
(2)星球的質(zhì)量M.

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7m
D、星球的質(zhì)量為
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