(2010?鹽城一模)如圖所示.一簇質(zhì)量均為m、電量均為q的離子,在P點以同一速率v沿xoy上半平面中的各個方向射出,在P點左側(cè)靠近P點處有一豎直放置的擋板.現(xiàn)加一垂直于xoy平面的磁感應(yīng)強度為B的有界勻強磁場,可將這些離子聚焦到R點,P點與R點相距為2a,離子軌跡關(guān)于y軸對稱.試求:
(1)離子在磁場中運動的軌跡半徑
(2)當
mvBq
=a時,與x軸成30°角射出的離子從P點到達R點的時間.
(3)試推出在x>0的區(qū)域中磁場的邊界點坐標x和y滿足的關(guān)系式.(沒有問題,最多改為“x、y滿足的關(guān)系式”)
分析:(1)離子進入磁場后,受到洛倫茲力作用做勻速圓周運動,根據(jù)向心力公式即可求解;
(2)先根據(jù)幾何關(guān)系求出進入和離開磁場時的坐標,求出粒子運動的路程,根據(jù)時間等于路程除以速率求解;
(3)根據(jù)幾何關(guān)系表示出x、y與半徑r的關(guān)系,帶入數(shù)據(jù)即可得出x與y之間滿足的關(guān)系式.
解答:解:(1)離子進入磁場后,受洛侖茲力作用,由牛頓第二定律得:
Bqv=
mv2
r

整理得:r=
mv
qB

(2)如圖所示,由幾何關(guān)系可得,離子進入磁場A點坐標為(-
a
2
,
3
6
a
)離開磁場B點坐標為(
a
2
,
3
6
a


由幾何關(guān)系,離子運動的路程為:
s=
2
3
3
a+
π
3
r=
2
3
3
a+
π
3
a

t=
s
v
=
(2
3
+π)a
3v
t=
s
v
=
(2
3
+π)m
3Bq

(3)在x>0的區(qū)域內(nèi),令離子離開磁場后與x軸夾角為θ.
由幾何關(guān)系得:x=rsinθ
y=(
a
cosθ
-rtanθ)sinθ

代入相關(guān)數(shù)據(jù)并化簡得:y=
(ax-x2)Bq
m2v2-B2q2x2

答:(1)離子在磁場中運動的軌跡半徑r=
mv
qB

(2)當
mv
Bq
=a時,與x軸成30°角射出的離子從P點到達R點的時間t=
(2
3
+π)a
3v
t=
(2
3
+π)m
3Bq

(3)在x>0的區(qū)域中磁場的邊界點坐標x和y滿足關(guān)系式y=
(ax-x2)Bq
m2v2-B2q2x2
點評:本題是帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動,要求同學們能畫出粒子運動的軌跡,結(jié)合幾何關(guān)系求解,知道半徑公式及周期公式,難度較大.
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