Question

從地面上以初速度v₀豎直向上拋出一質(zhì)量為m的球，若運(yùn)動過程中受到的空氣阻力與其速率成正比關(guān)系，球運(yùn)動的速率隨時(shí)間變化規(guī)律如圖所示，t₁時(shí)刻到達(dá)最高點(diǎn)，再落回地面，落地時(shí)速率為v₁，且落地前球已經(jīng)做勻速運(yùn)動．求：



（1）球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功；
（2）球拋出瞬間的加速度大�。�
（3）球上升的最大高度H．

Answer 1

（1）由動能定理得
Wf=

1

2

mv12-

1

2

mv02
克服空氣阻力做功
W=-Wf=

1

2

mv02-

1

2

mv12
（2）空氣阻力f=kv
落地前勻速運(yùn)動，則mg-kv₁=0
剛拋出時(shí)加速度大小為a₀，則
mg+kv₀=ma₀
解得a0=(1+

v0

v1

)g
（3）上升時(shí)加速度為a，-（mg+kv）=ma
a=-g-

k

m

v
取極短△t時(shí)間，速度變化△v，有：
△v=a△t=-g△t-

k

m

v△t
又v△t=△h
上升全程∑△v=0-v0=-g∑△t-

k

m

∑△h
則v0=gt1+

k

m

H
H=

(v0-gt1)v1

g

答：（1）球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功為

1

2

mv02-

1

2

mv12；
（2）球拋出瞬間的加速度大小為(1+

v0

v1

)g；
（3）球上升的最大高度H為

(v0-gt1)v1

g

．