Question

7．如圖所示，有五根完全相同的均勻細(xì)金屬桿，每根桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)，單位長(zhǎng)度電阻為λ，將其中四根連接在一起構(gòu)成正方形閉合框架abcd，固定在絕緣水平桌面上，另一根金屬桿PQ捆在其上且始終接觸良好，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直穿過(guò)桌面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．現(xiàn)PQ在水平外力作用下沿平行于ab的方向以速度v勻速?gòu)淖笙蛴疫\(yùn)動(dòng)，不計(jì)系統(tǒng)摩擦，設(shè)PQ與ad的距離為x．
（1）當(dāng)x=$\frac{3}{4}$L時(shí)，求PQ桿上的熱功率；
（2）求出水平外力F的大小隨x變化的關(guān)系式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，F(xiàn)有極小值，求出該極小值．

Answer 1

分析 （1）由并聯(lián)電路特點(diǎn)求出外電阻，由E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出電流，然后由電功率公式求出電功率．
（2）由并聯(lián)電路特點(diǎn)求出外電阻，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，然后由平衡條件求出外力，然后求出外力的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)x=$\frac{3}{4}$L時(shí)，外電阻R滿足：$\frac{1}{R}$=$\frac{1}{2.5λL}$+$\frac{1}{1.5λL}$，
電動(dòng)勢(shì)：E=BLv，
PQ中的電流：I=$\frac{BLv}{R+λL}$，
PQ的熱功率：P=I²λL，
解得：P=$\frac{256{B}^{2}L{v}^{2}}{961λ}$；
（2）外電阻R隨x變化關(guān)系：$\frac{1}{R}$=$\frac{1}{λ（L+2x）}$+$\frac{1}{λ（3L-2x）}$，
PQ中的電流：I=$\frac{BLv}{R+λL}$，
PQ所受安培力：F_A=BIL，
金屬桿勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：F=F_A，
整理得：F=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{λ（L+2x）（3L-2x）+4λ{(lán)L}^{2}}$，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$L時(shí)，外力最小，為：F_min=$\frac{{B}^{2}Lv}{2λ}$；
答：（1）當(dāng)x=$\frac{3}{4}$L時(shí)，PQ桿上的熱功率為$\frac{256{B}^{2}L{v}^{2}}{961λ}$；
（2）水平外力F的大小隨x變化的關(guān)系式為：F=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{λ（L+2x）（3L-2x）+4λ{(lán)L}^{2}}$，當(dāng)x為$\frac{1}{2}$L時(shí)，F(xiàn)有極小值，該極小值為：$\frac{{B}^{2}Lv}{2λ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道電磁感應(yīng)與力學(xué)、電路知識(shí)的綜合題，要掌握電磁感應(yīng)與力學(xué)、電路的基本規(guī)律，如E=BLv、并聯(lián)電路特點(diǎn)、歐姆定律、安培力公式、電功與電功率公式等等．本題的難點(diǎn)與解題關(guān)鍵是：知道ab桿是電源，框架是外電路，判斷出外電阻先增大后減�。�