Question

18．小轎車以20m/s的速度在平直公路上勻速行駛，司機突然發(fā)現正前方有個收費站，經20s后司機才開始剎車使車勻減速恰停在繳費窗口，繳費后勻加速到20m/s后繼續(xù)勻速前行．已知小轎車剎車時的加速度大小為2m/s²，停車繳費所用時間為30s，啟動時加速度為1m/s²．
（1）司機是在離收費窗口多遠處發(fā)現收費站的；
（2）因國慶放假期間，全國高速路免費通行，小轎車可以不停車通過收費站，但要求轎車通過收費窗口前9m區(qū)間不超過6m/s，則國慶期間小轎車離收費窗口至少多遠處開始剎車？因不停車通過至少可以節(jié)約多少時間？

Answer 1

分析 （1）解出勻速運動的位移，再解出勻減速運動的位移，兩位移相加即為要求的距離；
（2）分段研究，收費時總時間為：減速到0的時間，加上收費的時間，再加上加速到20m/s的時間；不收費時的總時間為：減速到6m/s的時間，加上勻速運動的時間，加上加速到20m/s的時間，還要加上勻速運動的時間；上述時間的差值即為節(jié)約的時間．

解答 解：（1）根據題意，設司機勻速運動位移為 s₁；減速運動時間為t₂，位移為s₂．
s₁=vt=20×20m=400m，
t₂=$\frac{v}{a}=\frac{20}{2}s=10s$，
${s}_{2}=v{t}_{2}-\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$=20×10-$\frac{1}{2}$×2×10²=100m，
所以司機在離收費站窗口100m+400m=500m處發(fā)現收費站的．
（2）根據題意轎車應該在收費窗口前9m處速度減為6m/s，設車減速位移為s₁′，
由2as=${v}_{t}^{2}-{v}_{0}^{2}$得：${s}_{1}′=\frac{{v}_{t}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2a}=\frac{{6}^{2}-2{0}^{2}}{-2×2}=90m$，
所以，轎車應離收費窗口91m+9m=100m處開始剎車．
設停車收費后加速時間為t₃，位移為s₃，則有：${t}_{3}=\frac{v}{a′}=20s$，
${s}_{3}=\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}=200m$，
若停車收費經過窗口前100m到窗后200m的總時間為：t₁+t₂+t₃=10s+30s+20s=60s
若不停車收費也是窗前100m開始剎車，時間為：${t}_{4}=\frac{{v}_{t}-{v}_{0}}{a}=\frac{6-20}{-2}s=7s$，
窗口前勻速時間：${t}_{5}=\frac{s}{v}=\frac{9}{6}s=1.5s$，
窗口后加速到20m/s所用時間為：${t}_{6}=\frac{{v}_{t}-{v}_{0}}{a′}=\frac{20-6}{1}s=14s$，
加速運動的位移由：$s={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：${s}_{3}′=6×14+\frac{1}{2}×1×1{4}^{2}=182m$，
窗口后還有200-182=18（m）勻速運動，其時間為：${t}_{7}=\frac{18}{20}s=0.9s$，
若不停車經過窗口前100m到窗口后200m的總時間為：t₄+t₅+t₆+t₇=7+1.5s+14s+0.9s=23.4s，
所以不停車通過可以節(jié)約時間為60s-23.4s=36.6s的時間．
答：（1）司機是在離收費窗口500m發(fā)現收費站的．
（2）國慶期間該小轎車應離收費窗口100m開始剎車．因不停車通過可以節(jié)約36.6s．

點評 此題運動的過程復雜，轎車經歷減速、勻速、加速，加速度、位移、時間等都不一樣．分析這樣的問題時，要能在草稿子上畫一畫運動的過程圖，找出空間關系，有助于解題．