分類討論在相似形中的應(yīng)用

馬健

    在我們的幾何題目中，有許多問題需要分類討論，常因不會(huì)分類、分類不確切或討論不全面發(fā)生漏解。只有全面掌握基礎(chǔ)知識和經(jīng)過嚴(yán)密思考，找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn)，才能使得出的結(jié)論不重復(fù)、不遺漏。下面就相似形中的幾個(gè)問題加以說明。

  例1. 已知兩數(shù)4和8，試寫出第三個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)中，其中一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)，則第三個(gè)數(shù)為_____________。

    析：這是一道開放性題目，它需分幾種情況討論。不妨設(shè)第三個(gè)數(shù)為x，

    由可得；

    由得；

    由可得。

    故第三個(gè)數(shù)為2，或16，或。

  例2. 若，求x的值。

    析：利用合比性質(zhì)，當(dāng)，此時(shí)

    又當(dāng)時(shí)，可得出

    此時(shí)

    故x的值為，或。

  例3. 要做兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形框架的三邊長分別為4、5、6，另一個(gè)三角形框架的一邊長為2，怎樣選料，可使這兩個(gè)三角形相似。

    析：本題中長為2的邊長可以分別與長為4、5、6的邊對應(yīng)。

    設(shè)另兩邊分別為x、y。于是得出：

    得：；

    得：；

    得：。

    所以框架另兩邊長可選，或，或。

  例4. 如圖1，，點(diǎn)M在AB上且，點(diǎn)N在AC上，聯(lián)結(jié)MN，使△AMN與原三角形相似，則AN＝___________。

    析：當(dāng)MN∥BC時(shí)，△AMN∽△ABC，可得：

    ，即

    故

    當(dāng)MN不平行于BC時(shí)，∠AMN＝∠C時(shí)，△AMN∽△ACB，可得：

    ，即，得

    故AN長為2，或

  例5. 若正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的三條邊上，直角三角形的兩條直角邊長分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長為____________。

    析：這是一道操作、設(shè)計(jì)型開放題，可分兩種情況：（1）是正方形一角為直角三角形的直角時(shí)，如圖2，由相似可得出：；（2）是兩個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上，如圖3，由相似可得出：。所以此正方形的邊長為，或。