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2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學（理工農醫(yī)類）

YCY

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

 

第I卷（選擇題  共40分）

 

注意事項：

1．答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上．

2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．不能答在試題卷上．

 

一、本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選擇出符合題目要求的一項.

2．“”是“直線相互垂直”的                                                    （    ）

       A．充分必要條件                                    B．充分而不必要條件

       C．必要而不充分條件                             D．既不充分也不必要條件

試題詳情

3．| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為                              （    ）

       A．30°                   B．60°                   C．120°                 D．150°

試題詳情

4．從原點向圓作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長為（   ）

       A．π                      B．2π                     C．4π                     D．6π

試題詳情

5．對任意的銳角，下列不等關系中正確的是                                                  （    ）

       A．               B．

       C．               D．

試題詳情

6．在正四面體P―ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論中不成立的是                                                     （    ）

       A．BC//平面PDF                                    B．DF⊥PAE

       C．平面PDF⊥平面ABC                         D．平面PAE⊥平面ABC

試題詳情

7．北京《財富》全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數(shù)為       （    ）

       A．         B．          C．         D．

試題詳情

8．函數(shù)                                                                                  （    ）

       A．在上遞減

       B．在上遞減

       C．在上遞減

       D．在上遞減

 

第Ⅱ卷（共110分）

注意事項：

試題詳情

       1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上.

試題詳情

       2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚.

試題詳情

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 把答案填在題中橫線上.

9．若為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為           .

試題詳情

10．已知的值為            ，的值為           .

試題詳情

11．的展開式中的常數(shù)項是          . （用數(shù)字作答）

試題詳情

12．過原點作曲線的切線，則切點的坐標為           ，切線的斜率為        .

試題詳情

13．對于函數(shù)定義域中任意的，有如下結論：

       ①；             ②；

       ③                            ④

    當時，上述結論中正確結論的序號是               .

試題詳情

14．已知n次式項式.

    如果在一種算法中，計算的值需要k－1次乘法，計算P3（x0）的值共需要9次運算（6次乘法，3次加法），那么計算P10（x0）的值共需要             

    次運算.

       下面給出一種減少運算次數(shù)的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，…，n－1）.利用該算法，計算P3（x0）的值共需要6次運算，計算P10（x0）的值共需要

            次運算.

試題詳情

三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15．（本小題共13分）

       已知函數(shù)

   （Ⅰ）求的單調減區(qū)間；

（Ⅱ）若在區(qū)間[－2，2].上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

16．（本小題共14分）

  如圖，在直四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=，

AC⊥BD，垂足為E.

   （Ⅰ）求證BD⊥A1C；

   （Ⅱ）求二面角A1―BD―C­1的大��；

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

17．（本小題共13分）

       甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為

   （Ⅰ）記甲擊中目標的次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布及數(shù)學期望Eξ；

（Ⅱ）求乙至多擊中目標2次的概率；

（Ⅲ）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

18．（本小題共14分）

       如圖，直線l1：與直線l2：之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為W，其左半部分記為W1，右半部分記為W2.

   （Ⅰ）分別用不等式組表示W1和W2；

   （Ⅱ）若區(qū)域W中的動點P（x，y）到l1，l2的距離之積等于d2，求點P的軌跡C的方程；

（Ⅲ）設不過原點O的直線l與（Ⅱ）中的曲線C相交于M1，M2兩點，且與l1，l2分別

交于M3，M4兩點. 求證△OM1M2的重心與△OM3M4的重心重合.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

19．（本小題共12分）

設數(shù)列 

記

   （Ⅰ）求a2，a3；

   （Ⅱ）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結論；

   （Ⅲ）求

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

20．（本小題共14分）

設是定義在[0，1]上的函數(shù)，若存在上單調遞增，在[x*，1]上單調遞減，則稱為[0，1]上的單峰函數(shù)，x*為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間.

對任意的[0，1]上的單峰函數(shù)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法.

   （Ⅰ）證明：對任意的為含峰區(qū)間；

若為含峰區(qū)間；

試題詳情

   （Ⅱ）對給定的r（0<r<0.5），證明：存在，使得由（Ⅰ）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r；

試題詳情

   （Ⅲ）選取，由（Ⅰ）可確定含峰區(qū)間為（0，）或（，1），在所得的含峰區(qū)間內選取類似地可確定一個新的含峰區(qū)間，在第一次確定的含峰區(qū)間為（0，）的情況下，試確定的值，滿足兩兩之差的絕地值不小于0.02，且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0.34.

   （區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

 

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1―5：CBCBD  6―10：DCAA

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9．   10．   11．15  12．（1，e） e  13．②③  14．

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

15．（共13分）

解：（I） 令，解得

所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為

（II）因為

所以

因為在（－1，3）上，所以在[－1，2]上單調遞增，又由于在

[－2，－1]上單調遞減，因此和分別是在區(qū)間[－2，2]上的最大值和

最小值.

于是有，解得

故  因此

即函數(shù)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7.

解法一：

   （Ⅰ）在直四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，

∵A1A⊥底面ABCD，

∴AC是A1C在平面ABCD上的射影，

∵BD⊥AC， ∴BD⊥A1C.

   （Ⅱ）連結A1E，C1E，A1C1.

與（Ⅰ）同理可證BD⊥A1E，BD⊥C1E，

∴∠A1EC1二面角A1―BD―C1的平面角.

∵AD⊥DC， ∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，

又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2， AA1=，且AC⊥BD，

∴A1C1=4，AE=1，EC=3，  ∴A1E=2，C1E=2，

在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2，  ∴∠A1EC1=90°，

即二面角A1―BD―C1的大小為90°.

   （Ⅲ）過B作BF//AD交AC于F，連結FC1，

    則∠C1BF就是AD與BC1所成的角.

∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1，  ∴BF=2，EF=1，F(xiàn)C=2，BC=DC，

∴FC1=.  在△BFC1中，

∴

即異面直線AD與BC1所成角的大小為.

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如圖，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.

與（Ⅰ）同理可證，BD⊥A1E，BD⊥C1E，

∴∠A1EC1為二面角A1―BD―C1的平面角.

（Ⅲ）如圖，由D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，，，），B（3，，0）

∴異面直線AD與BC1所成角的大小為arccos.

解法三：

（II）如圖，建立空間直角坐標系，坐標原點為E.

     連結A1E，C1E，A1C1.

     與（I）同理可證，BD⊥A1E，BD⊥C1E，

     ∴∠A1EC1為二面角A1―BD―C1的平面角.

     由E（0，0，0），A1（0，－1，

     

.

    （Ⅲ）如圖，由A（0，－1，0），D（，0，0），B（，0，0），C1（0，3，）.

得.

∵

∴

∴異面直線AD與BC1所成角的大小為arccos.

17．（共13分）

解：（Ⅰ）

ξ的概率分布如下表：

ξ

0

1

2

3

P

Eξ=0?+1?+2?+3?=1.5   （或Eξ=3?）

   （Ⅱ）乙至多擊中目標2次的概率為

   （Ⅲ）設甲恰比乙多擊中目標2次為事件A，甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次為事件B1，甲恰擊中目標3次且乙恰擊中目標1次為事件B2，則A=B1+B2，B1、B2為互斥事件.

    P（A）=P（B1）+P（B2）=

    所以，甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為

18．（共14分）

       解：（I）

      

       （II）直線由題意得

      

   （III）當直線l與x軸垂直時，可設直線l的方程為. 由于直線l，曲線C關于x軸對稱，且l1與l2關于x軸對稱，于是M1M2，M3M4的中點坐標都為（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐標都為，即它們的重心重合.

       當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為

       由

       由直線l與曲線C有兩個不同交點，可知

      

      

       于是△OM1M2的重心與△OM3M4的重心也重合.

19．（共12分）

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）因為

所以

猜想：是公比為的等比數(shù)列.

證明如下： 因為

所以是首項為的等比數(shù)列.

（Ⅲ）

20．（共14分）

   （Ⅰ）證明：設的峰點，則由單峰函數(shù)定義可知，上單調遞增，

在上單調遞減.

當，

這與是含峰區(qū)間.

當

這與是含峰區(qū)間.

（II）證明：由（I）的結論可知：

   當f(x1)≥f(x2)時，含峰區(qū)間的長度為l1=x2；

   當f(x1)≤f(x2)時，含峰區(qū)間的長度為l2=1－x1；

   對于上述兩種情況，由題意得

    ①   由①得1+x2－x1≤1+2r，即x2－x1≤2r.

又因為x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r，所以    x2－x1=2r.  ②

將②代入①得     x1≤0.5－r, x2≥0.5+r.   ③

由①和③解得x1=0.5－r, x2=0.5+r.       

所以這時含峰區(qū)間的長度l1=l2=0.5+r，即存在x1 , x2使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r.

（Ⅲ）解：對先選擇的x1, x2, x1 <x2， 由（II）可知    x1+x2=1，   ④

在第一次確定的含峰區(qū)間為（0，x2）的情況下，x3的取值應滿足   x3+x1=x2 , ⑤

由④與⑤可得    當x1>x3時，含峰區(qū)間的長度為x1.

由條件x1－x3≥0.02, 得x1－(1－2x1) ≥0.02, 從而x1≥0.34.

因此，為了將含峰區(qū)間的長度縮短到0.34，只要取

x1=0.34, x2=0.66, x3=0.32.

 

 


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