專題14 直線 圓錐曲線 平面向量

一 能力培養(yǎng)

1,函數(shù)與方程思想   2,數(shù)形結(jié)合思想   3,分類討論思想   4,轉(zhuǎn)化能力 5,運(yùn)算能力

二 問題探討

問題1設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,拋物線與過焦點(diǎn)的直線交于A,B兩點(diǎn),求的值.

 

 

 

 

問題2已知直線L與橢圓交于P,Q不同兩點(diǎn),記OP,OQ的斜率分別為

,,如果,求PQ連線的中點(diǎn)M的軌跡方程.

 

 

 

 

問題3給定拋物線C:,F是C的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線與C相交于A,B兩點(diǎn).

(I)設(shè)的斜率為1,求與夾角的大小;

(II)設(shè),若,求在軸上截距的變化范圍.

 

 

 

 

 

問題4求同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的曲線C的方程:

①是橢圓或雙曲線;         ②原點(diǎn)O和直線分別為焦點(diǎn)及相應(yīng)準(zhǔn)線;

③被直線垂直平分的弦AB的長(zhǎng)為.

 

 

 

 

 

 

 

 

三 習(xí)題探

選擇題

1已知橢圓的離心率,則實(shí)數(shù)的值為

A,3           B,3或           C,           D,或

2一動(dòng)圓與兩圓和都外切,則動(dòng)圓圓心的軌跡為

A,圓          B,橢圓          C,雙曲線的一支         D,拋物線

3已知雙曲線的頂點(diǎn)為與(2,5),它的一條漸近線與直線平行,則雙曲

線的準(zhǔn)線方程是

A,        B,        C,        D,

4拋物線上的點(diǎn)P到直線有最短的距離,則P的坐標(biāo)是

A,(0,0)              B,           C,            D,

5已知點(diǎn)F,直線:,點(diǎn)B是上的動(dòng)點(diǎn).若過B垂直于軸的直線與線段

BF的垂直平分線交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡是

A,雙曲線            B,橢圓             C,圓               D,拋物線

填空題

6橢圓上的一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為8,到右準(zhǔn)線的最小距離

為,則此橢圓的方程為                           .

7與方程的圖形關(guān)于對(duì)稱的圖形的方程是                         .

8設(shè)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)M在直線PA上,

且分所成的比為2:1,則點(diǎn)M的軌跡方程是                              .

9設(shè)橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn),且橢圓長(zhǎng)軸是雙曲線實(shí)軸的2倍,

 則橢圓與雙曲線的交點(diǎn)軌跡是                       .

解答題

10已知點(diǎn)H,點(diǎn)P在軸上,點(diǎn)Q在軸的正半軸上,點(diǎn)M在直線PQ上,

且滿足,.

(I)當(dāng)點(diǎn)P在軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C;

(II)過點(diǎn)T作直線與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),若在軸上存在一點(diǎn)E,

使得是等邊三角形,求的值.

 

 

 

 

 

 

11已知雙曲線C:,點(diǎn)B,F分別是雙曲線C的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn),

O為坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)A在軸正半軸上,且滿足成等比數(shù)列,過點(diǎn)F作雙曲

線C在第一,第三象限的漸近線的垂線,垂足為P.

(I)求證:;         (II)設(shè),直線與雙曲線C的左,右兩分

支分別相交于點(diǎn)D,E,求的值.

 

 

 

 

 

 

 

12已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,其中又是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)A,

 B在雙曲線上.

(I)求點(diǎn)的軌跡方程;            (II)是否存在直線與點(diǎn)的軌跡有且只

有兩個(gè)公共點(diǎn)?若存在,求實(shí)數(shù)的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

問題1解:(1)當(dāng)直線AB軸時(shí),在中,令,有,則

,得.

(2)當(dāng)直線AB與軸不互相垂直時(shí),設(shè)AB的方程為:

由,消去,整理得,顯然.

設(shè),則,得

=+=+

        =

        ==.

綜(1),(2)所述,有.

問題2解:設(shè)點(diǎn)P,Q,M的坐標(biāo)分別為,

    • 
 
      
  
  
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      x
      , ③  ④
      ①+②得
      即,將③,④代入得,
      于是點(diǎn)M的軌跡方程為.
      問題3解:(I)C的焦點(diǎn)為F(1,0),直線的斜率為1,所以的方程為,
      把它代入,整理得
      設(shè)A,B則有.
      +1=.
      ,
      所以與夾角的大小為.
      (II)由題設(shè)得,即.
      得,又,有,可解得,由題意知,
      得B或,又F(1,0),得直線的方程為
      或,
      當(dāng)時(shí),在軸上的截距為或,由,可知
      在[4,9]上是遞減的,于是,,
      所以直線在軸上的截距為[].
      問題4解:設(shè)M為曲線C上任一點(diǎn),曲線C的離心率為,由條件①,②得
      ,化簡(jiǎn)得:    
(i)
      設(shè)弦AB所在的直線方程為                  
(ii)
      (ii)代入(i)整理后得:  (iii),
      可知不合題意,有,
      設(shè)弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A,B,AB的中點(diǎn)P.則,是方程(iii)的兩根.
      ,
      ,,又中點(diǎn)P在直線上,
      有+=0,解得,即AB的方程為,方程(iii)為
      ,它的,得.
      ,
      由,得
      即,得,將它代入(i)得.
      所求的曲線C的方程為雙曲線方程:.
      1焦點(diǎn)在軸得;焦點(diǎn)在軸得,選B.
      2設(shè)圓心O(0,0),,為動(dòng)圓的圓心,則,選C.
      3知雙曲線的中心為(2,2),由變形得,于是所求雙曲線方程為
      ,它的準(zhǔn)線為,即,選A.
      4設(shè)直線與相切,聯(lián)立整理得,
      由,得,這時(shí)得切點(diǎn)(,1),選B.
      5由知點(diǎn)M的軌跡是拋物線,選D.
      6可得,消去,整理得,有或(舍去),得,
      ,所以所求的橢圓方程為.
      7設(shè)點(diǎn)P是所求曲線上任一點(diǎn),它關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)在上,
      有,即.
      8設(shè)點(diǎn)P,M,有,,得,
      而,于是得點(diǎn)M的軌跡方程是.
      9由條件可得或,設(shè)P代入可知交點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)圓.
      10解:(I) 設(shè)點(diǎn)M,由,得P
      由,得所以.又點(diǎn)Q在軸的正半軸上,得.
      所以,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以(0,0)為頂點(diǎn),以(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線,除去原點(diǎn).
      (II)設(shè)直線:,其中,代入,整理得 ①
      設(shè)A,B,,
      =,有AB的中點(diǎn)為,
      AB的垂直平分線方程為,令,,有E
      由為正三角形,E到直線AB的距離為,知.
      由,解得,所以.
      11(I)證明:直線的方程為:
      由,得P,又成等差數(shù)列,
      得A(,0),有,
      于是,,因此.
      (II)由,得,:
      由,消去,整理得    
①
      設(shè)D,E,由已知有,且,是方程①的兩個(gè)根.
      ,,,解得或.
      又,得=,因此.
      12解:(I),,設(shè)則
      ,去掉絕對(duì)值號(hào)有兩種情況,分別得的軌跡
      方程為和()
      (II)直線:,:,D(1,4),橢圓Q:
      ①若過點(diǎn)或D,由,D兩點(diǎn)既在直線上,又在橢圓Q上,但不在的軌跡上,
      知與的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn),不合題意.
      ②若不過,D兩點(diǎn)().則與必有一個(gè)公共點(diǎn)E,且點(diǎn)E不在橢圓Q上,
      所以要使與的軌跡有且只有兩個(gè)公共點(diǎn),必須使與Q有且只有一個(gè)公共點(diǎn),
      把代入橢圓的方程并整理得
      由,得.
       
       
      
				
	
      
		
      


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