高考60天沖刺――圓錐曲線綜合應用

1．點A、B分別是以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓C長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓C上，且位于x軸上方，

（1）求橢圓C的的方程；

（2）求點P的坐標；

（3）設M是橢圓長軸AB上的一點，點M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到M的距離d的最小值。

2已知在平面直角坐標系中，向量，且 .

（I）設的取值范圍；

（II）設以原點O為中心，對稱軸在坐標軸上，以F為右焦點的橢圓經(jīng)過點M，且取最小值時，求橢圓的方程.

3．設A、B是橢圓3x²＋y²=λ上的兩點, 點N(1,3)是線段AB的中點.

(1)確定λ的取值范圍, 使直線AB存在, 并求直線AB的方程.

(2)線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C,D兩點, 求線段CD的中點M的坐標

(3)試判斷是否存在這樣的λ, 使得A、B、C、D四點在同一個圓上?并說明理由.

4．設是拋物線上相異兩點，且，直線與軸相交于．

（Ⅰ）若到軸的距離的積為，求的值；

（Ⅱ）若為已知常數(shù)，在軸上，是否存在異于的一點，使得直線與拋物線的另一交點為，而直線與軸相交于，且有，若存在，求出點的坐標（用表示），若不存在，說明理由．

5．已知點A、B的坐標分別是，.直線相交于點M，且它們的斜率之積為－2.

(Ⅰ)求動點M的軌跡方程;

(Ⅱ)若過點的直線交動點M的軌跡于C、D兩點, 且N為線段CD的中點，求直線的方程.

6．已知，點在軸上，點在軸的正半軸，點在直線上，且滿足，，.

（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）過的直線與軌跡交于、兩點，又過、作軌跡的切線、，當，求直線的方程.

7．已知點C為圓的圓心，點A（1，0），P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且

   （Ⅰ）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；

   （Ⅱ）若直線與（Ⅰ）中所求點Q

的軌跡交于不同兩點F，H，O是坐標原點，

且，求△FOH的面積

8．如圖，在直角坐標系中，已知橢圓的離

心率e＝，左右兩個焦分別為．過右焦點且與軸垂直的

直線與橢圓相交M、N兩點，且|MN|=1．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 設橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足，（）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓上.

9．已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過、、三點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線：（）與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上．

10．如圖,過拋物線x²=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點。

  (Ⅰ)設點P分有向線段所成的比為λ，證明

(Ⅱ)設直線AB的方程是x―2y+12=0,過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程。

11．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點。

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點），求的范圍。

12．如圖,過拋物線的對稱軸上任

一點作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q

是點P關于原點的對稱點．

 ⑴．設點P滿足（為實數(shù)），

證明：；

⑵．設直線AB的方程是，過A、B兩點

的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

13．一束光線從點出發(fā)，經(jīng)直線上一點反射后，恰好穿過點．

（Ⅰ）求點關于直線的對稱點的坐標；

（Ⅱ）求以、為焦點且過點的橢圓的方程；

（Ⅲ）設直線與橢圓的兩條準線分別交于、兩點，點為線段上的動點，求點 到的距離與到橢圓右準線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點的坐標．

14．已知平面上一定點和一定直線Ｐ為該平面上一動點，作垂足為，.

(1) 問點Ｐ在什么曲線上？并求出該曲線方程；

(2)    點Ｏ是坐標原點，兩點在點Ｐ的軌跡上，若求的取值范圍．

15．如圖，已知E、F為平面上的兩個定點 ，，且，?，（G為動點，P是HP和GF的交點）

（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼登蟪鳇c的軌跡方程；

（2）若點的軌跡上存在兩個不同的點、，且線段的中垂線與

（或的延長線）相交于一點，則＜（為的中點）．

16．已知動圓過定點，且與直線相切.

(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；

(2) 是否存在直線，使過點（0，1），并與軌跡交于兩點，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

17．已知若動點P滿足

   （1）求動點P的軌跡方C的方程；

   （2）設Q是曲線C上任意一點，求Q到直線的距離的最小值.

18．已知拋物線x=2py(p>0)，過動點M(0,a)，且斜率為1的直線L與該拋物線交于不同兩點A、B，|AB|≤2p,

   （1）求a的取值范圍；

   （2）若p=2，a=3，求直線L與拋物線所圍成的區(qū)域的面積；

19．如圖，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=

橢圓F以A、B為焦點且過點D，

（Ⅰ）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�，求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點E滿足,是否存在斜率

兩點，且

，若存在，求K的取值范圍；若不存在，說明理由。

20．已知是函數(shù)圖象上一點，過點的切線與軸交于，過點作軸的垂線，垂足為 .

（1）求點坐標；

（2）若，求的面積的最大值，并求此時的值.

1．解（1）已知雙曲線實半軸a₁=4，虛半軸b₁=2，半焦距c₁=，

∴橢圓的長半軸a₂=c₁=6，橢圓的半焦距c₂=a₁=4，橢圓的短半軸=，

∴所求的橢圓方程為                            

（2）由已知,，設點P的坐標為，則

由已知得

則，解之得，      

由于y>0，所以只能取，于是，所以點P的坐標為9分

（3）直線，設點M是，則點M到直線AP的距離是，于是，                                  

又∵點M在橢圓的長軸上，即        

∴當時，橢圓上的點到的距離

又   ∴當時，d取最小值              

2．解：（1）由，

    得…………………………………………………………………3分

     ∴夾角的取值范圍是（）

………………………………………………………………6分

    （2）

…………………………………………………………………………………………8分

………………10分

∴當且僅當

或            …………12分

橢圓長軸

或

故所求橢圓方程為.或 …………14分

3．(1)解: 依題意,可設直線AB的方程為y=k(x－1)＋3, 代入3x²＋y²=λ, 整理得(k²＋3)x²－2k(k－3)x＋(k－3)²－λ=0 ①

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 則x₁,x₂是方程①的兩個不同的根,∴△=4[λ(k²＋3)－3(k－3)²]>0.②

且x₂＋x₁= , 由N(1,3)是線段AB的中點, 得 =1 , ∴k(k－3)=k²＋3

解得k=－1, 代入②得λ>12, 即λ的取值范圍是(12, ＋∞), ∴

直線AB的方程為y－3=－(x－1),即x＋y－4=0

(2)∵CD垂直平分AB, 直線CD的方程為y－3=x－1, 即x－y＋2=0,代入橢圓方程, 整理得

4x²＋4x＋4－λ=0  ③ 又設C(x₃,y₃),D(x₄,y₄),CD的中點C(x₀,y₀), 則x₃,x₄是方程③的兩根, ∴x₃＋x₄=－1, 且x₀= (x₃＋x₄)=－, y₀ =x₀＋2 = , 即M(－, )

(3)由弦長公式可得|CD|= |x₁－x₂|= ④

將直線AB的方程x＋y－4=0,代入橢圓方程得4x2－8x＋16－λ=0  ⑤

同理可得|AB|= ?|x₁－x₂|=   ⑥

∵當λ>12時, > , ∴ |AB|<|CD|, 假設存在λ>12, 使得A、B、C、D四點共圓, 則CD必為圓的直徑, 點M為圓心, 點M到直線AB的距離為

d= = = ..   ⑦于是由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.

|MA|²=|MB|²=d²＋ ||² = ＋ = = ||². 故當λ>12時, A、B、C、D四點均在以M為圓心, || 為半徑的圓上.

4.解： （Ⅰ）∵　?＝0，則x₁x₂＋y₁y₂＝0，　　　      ……………………1分

又P、Q在拋物線上，

∴y₁²＝2px₁，y₂²＝2px₂，

∴ ＋y₁y₂＝0， y₁y₂＝－4p²，

∴ |y₁y₂|＝4p²，                       　              ……………………3分

又|y₁y₂|＝4，∴4p²＝4，p=1．　　　　　　　　　         ……………………4分

（Ⅱ）設E(a,0），直線PQ方程為x＝my＋a ,　　

       聯(lián)立方程組　 ,　　　　　　　　　           ……………………5分

消去x得y²－2pmy－2pa＝0　,　　　　　　　　           ……………………6分

∴　 y₁y₂＝－2pa ,    ①　　　　　　　　　            ……………………7分

    設F(b,0)，R(x₃,y₃)，同理可知：

y₁y₃＝－2pb ,   ②　　　　　　　　　            ……………………8分

　　由①、②可得 ＝ ,  ③　　　　　　　　             ……………………9分

    若 ＝3，設T(c,0)，則有

(x₃－c,y₃－0)＝3(x₂－c,y₂－0),

∴　y₃＝3y₂　  即�。�3,　　④　　　　　           ……………………10分

　　將④代入③，得　b＝3a．　　　　　　　　　           ……………………11分

又由（Ⅰ）知，?＝0　,

∴　 y₁y₂＝－4p²，代入①，

得－2pa＝－4 p²　　∴　　a＝2p,　　　　　　           ……………………13分

∴ b＝6p,

故，在x軸上，存在異于E的一點F(6p,0)，使得 ＝3．　………………14分

注：若設直線PQ的方程為y＝kx＋b，不影響解答結(jié)果．

5．解: (Ⅰ)設……………………………………………………………………………1分

因為,所以……………………………………..3分

化簡得:. ……………………………………………………………..4分

(Ⅱ) 設 當直線⊥x軸時,直線的方程為,則,其中點不是N,不合題意…………………………………………6分

設直線的方程為

將代入得

…………(1)   …………(2)  ……………………………….8分

(1)-(2)整理得:  ……………………………11分

直線的方程為

即所求直線的方程為……………………………………………12.分

解法二: 當直線⊥x軸時,直線的方程為,則,其中點不是N,不合題意.

故設直線的方程為,將其代入化簡得

由韋達定理得,

又由已知N為線段CD的中點,得,解得,

將代入(1)式中可知滿足條件.

此時直線的方程為,即所求直線的方程為

6．（Ⅰ）解：設　則

　　……………………………………………...2分

由　得　，　……………………………………………..4分

又　　即，……………6分

由　得　……………………………………………………..8分

（Ⅱ）設，

 因為 ，故兩切線的斜率分別為、……………………………10分

由方程組　得　  ………..12

當時，，，所以

所以，直線的方程是　　……………………………….14分

7．解：（1）由題意MQ是線段AP的垂直平分線，于是

|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2，于是點 Q的軌跡是以點C，A為焦點，半焦距c=1，長半軸a=的橢圓，短半軸

點Q的軌跡E方程是：.…………………………4分

   （2）設Ｆ（x₁，y₁）H（x₂，y₂），則由，

        消去y得

        …………………………6分

        又點O到直線FH的距離d=1，

8．解：(Ⅰ)∵軸，∴,由橢圓的定義得：，--------2分

∵，∴，-----------------------------------4分

又得    ∴     

∴，-------------------------------6分

∴所求橢圓C的方程為．------------------------------------------------7分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知點A(－2,0)，點B為（0，－1），設點P的坐標為

則，,

由－4得－，

∴點P的軌跡方程為------------------------------------9分

設點B關于P的軌跡的對稱點為，則由軸對稱的性質(zhì)可得：，

解得：，------------------------------11分

∵點在橢圓上，∴ ，整理得解得或

∴點P的軌跡方程為或，-------------------------------------------13分

經(jīng)檢驗和都符合題設，

∴滿足條件的點P的軌跡方程為或．----------------14分

9．（Ⅰ）解法一：當橢圓E的焦點在x軸上時，設其方程為（），

則，又點在橢圓上，得．解得．

∴橢圓的方程為．

當橢圓E的焦點在y軸上時，設其方程為（），

則，又點在橢圓上，得．解得，這與矛盾．

綜上可知，橢圓的方程為．                               ……4分

解法二：設橢圓方程為（），

將、、代入橢圓的方程，得

解得，．

∴橢圓的方程為．                                     ……4分

（Ⅱ）證法一：將直線：代入橢圓的方程并整理，得，                                    ……6分

設直線與橢圓的交點，，

由根與系數(shù)的關系，得，．              ……8分

直線的方程為：，它與直線的交點坐標為，同理可求得直線與直線的交點坐標為．       ……10分

下面證明、兩點重合，即證明、兩點的縱坐標相等：

∵，，

∴

．

因此結(jié)論成立．

綜上可知，直線與直線的交點在直線上．                ……14分

證法二：將直線：，代入橢圓的方程并整理，得，                                    ……6分

設直線與橢圓的交點，，

由根與系數(shù)的關系，得，．              ……8分

直線的方程為：，即．

直線的方程為：，即．   ……10分

由直線與直線的方程消去，得

  ．

∴直線與直線的交點在直線上．                         ……14分

證法三：將直線：，代入橢圓方程并整理，得，                                    ……6分

設直線與橢圓的交點，，

由根與系數(shù)的關系，得，．              ……8分

消去得，．                               ……10分

直線的方程為：，即．

直線的方程為：，即．     ……12分

由直線與直線的方程消去得，

．

∴直線與直線的交點在直線上．                     ……14分

10．解(Ⅰ)依題意,可設直線AB的方程為,代入拋物線方程得

                ①

設A、B兩點的坐標分別是（x₁,y₁）、(x₂,y₂),則x₁、x₂是方程①的兩根。