2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座五

函數(shù)、方程、不等式問題

【知識(shí)縱橫】

    函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合，是函數(shù)某一變量值一定或在某一范圍下的方程或不等式，體現(xiàn)了一般到特殊的觀念。也體現(xiàn)了函數(shù)圖像與方程、不等式的內(nèi)在聯(lián)系，例求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般通過函數(shù)解析式組成的方程組來解決。又如例4復(fù)合了一次函數(shù)、二次函數(shù)，并對(duì)所得的函數(shù)要結(jié)合自變量的取值范圍來考慮最值，這就需要結(jié)合圖像來解決。

【典型例題】

    【例1】（天津市）已知拋物線，

（1）若，，求該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若，且當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）若，且時(shí)，對(duì)應(yīng)的；時(shí)，對(duì)應(yīng)的，試判斷當(dāng)時(shí)，拋物線與軸是否有公共點(diǎn)？若有，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若沒有，闡述理由．

【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）令y=0，求方程的兩根；（2）考慮判別式；（3）由不等式及結(jié)合圖像解之。

【例2】（黃石市）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線交軸于點(diǎn)．在線段的垂直平分線上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，將拋物線沿

其對(duì)稱軸平移，使拋物線與線段總有公共點(diǎn)．試探究：拋

物線向上最多可平移多少個(gè)單位長度？向下最多可平移多少個(gè)

單位長度？

【思路點(diǎn)撥】（2）設(shè),建立關(guān)于t的方程；

（3）考慮拋物線向上平移、向下平移兩種情況。

【例3】（吉林長春）已知兩個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)與當(dāng)時(shí)，；且二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線．

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的表達(dá)式；

（3）在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，問函數(shù)的圖象與的圖象是否有交點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．

【思路點(diǎn)撥】（1）＝（y 1 + y 2）―；（2）由對(duì)稱軸的方程，求出a的值；（3）考慮方程根的判別式。

【例4】（廣西南寧）隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關(guān)系，如圖①所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）

（1）分別求出利潤與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？

【思路點(diǎn)撥】：（2）設(shè)獲得的利潤是萬元，則＝＋，注意x范圍內(nèi)最值求法。

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、（廣州）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn).

（1）根據(jù)圖象，分別寫出A、B的坐標(biāo)；

（2）求出兩函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)圖象回答：當(dāng)為何值時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值.

2、（江西省卷）已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是，（其中為常數(shù)，且）．

（1）請(qǐng)寫出三條與上述拋物線有關(guān)的不同類型的結(jié)論；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左邊），

與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左邊），觀察四點(diǎn)坐標(biāo)，請(qǐng)寫出一個(gè)你所得到的正確結(jié)論，并說明理由；

（3）設(shè)上述兩條拋物線相交于兩點(diǎn)，直線都垂直于軸，分別經(jīng)過兩點(diǎn)，在直線之間，且與兩條拋物線分別交于兩點(diǎn)，求線段的最大值．

3、（四川自貢）拋物線的頂點(diǎn)為M，與軸的交點(diǎn)為A、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），△ABM的三個(gè)內(nèi)角∠M、∠A、∠B所對(duì)的邊分別為m、a、b.若關(guān)

于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

（1）判斷△ABM的形狀，并說明理由.

（2）當(dāng)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（－2，－1）時(shí)，求拋物線的解析式，并畫出該拋物線的大

致圖形.

（3）若平行于軸的直線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，以CD為直徑的圓恰好與軸相切，

求該圓的圓心坐標(biāo).

4、（青海省卷）王亮同學(xué)善于改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，他發(fā)現(xiàn)對(duì)解題過程進(jìn)行回顧反思，效果會(huì)更好．某一天他利用30分鐘時(shí)間進(jìn)行自主學(xué)習(xí)．假設(shè)他用于解題的時(shí)間（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量的關(guān)系如圖甲所示，用于回顧反思的時(shí)間（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量的關(guān)系如圖乙所示（其中是拋物線的一部分，為拋物線的頂點(diǎn)），且用于回顧反思的時(shí)間不超過用于解題的時(shí)間．

（1）求王亮解題的學(xué)習(xí)收益量與用于解題的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）求王亮回顧反思的學(xué)習(xí)收益量與用于回顧反思的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）王亮如何分配解題和回顧反思的時(shí)間，才能使這30分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大？

（學(xué)習(xí)收益總量解題的學(xué)習(xí)收益量回顧反思的學(xué)習(xí)收益量）