北京市西城區(qū)2008年抽樣測試

高三數(shù)學(xué)試卷(文科)                        2008.5

學(xué)校___________    班級___________    姓名___________

題號

一

二

三

總分

15

16

17

18

19

20

分數(shù)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    本試卷分第一卷(選擇題)和第二卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時間120分鐘.

第一卷(選擇題共40分)

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1.設(shè)全集I=R，集合A={x|x<0}，B={x||x|>1}，則集合A∩(B)等于(    )

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A.               B.{x|－l≤x<0}          C.{x|0<x≤1}           D.{x|－1≤x≤1}

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2.雙曲線x2=1的漸近線方程是(    )

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A.y=±4x           B.y=±x               C.y=±2x               D.y=±x

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3.設(shè)m，n表示不同的直線，α,β表示不同的平面，且m，n.則“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(    )

A.充分但不必要條件                       B.必要但不充分條件

C.充要條件                               D.既不充分又不必要條件

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4.在等差數(shù)列{an}中，al=13，a3=12，若an=2，則n等于(    )

A.23                 B.24                  C.25                    D.26

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5.圓(x－1)2+y2=1的圓心到直線xy=0的距離是(    )

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A.                 B.                  C.                  D.1

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6.設(shè)|φ|<，函數(shù)f (x)=sin2(x+φ).若f()=，則φ等于(    )

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A.               B.                 C.                  D.

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7.函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象按向量n=(－3，1)平移后恰好經(jīng)過原點，則a等于(    )

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A.3                   B.2                   C.                   D.

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8.袋中裝有分別編號為1，2，3，4的4個白球和4個黑球，從中取出3個球，則取出球的編號互不相同的取法有(    )

A.24種               B.28種                C.32種                D.36種

北京市西城區(qū)2008年抽樣測試

試題詳情

                                 高三數(shù)學(xué)試卷(文科)                       2008.5

學(xué)校_________  班級_________  姓名_________

第二卷(非選擇題  共110分)

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二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.)

9.從全年級學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績中，隨機抽取10名學(xué)生的成績，抄錄如下：(單位：分)

82    90    74    81    77    94    82    68    89    75

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根據(jù)樣本頻率分布估計總體分布的原理，該年級學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績在79.5~85.5之間的概率約為___________.

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10.設(shè)向量a=(x，1)，b=(2，1－x)，若a⊥b，則實數(shù)x=___________.

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11.已知點P(x，y)的坐標滿足條件則變量2x－y的最大值是___________.

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12.在(2x+1)4的展開式中，x2的系數(shù)是___________；展開式中各項系數(shù)的和為___________.

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13.將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，則折起后B,

D兩點的距離為__________；直線BD和平面ABC所成角的大小是__________.

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14.設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域分別為Df，Dg，且DfDg.若對于任意xDf，都有g(shù)(x)=f(x)，則稱函數(shù)g(x)為f(x)在Dg上的一個延拓函數(shù).設(shè)f (x)=2x(x≥0)，g(x)為f(x)在R上的一個延拓函數(shù)，且g(x)是偶函數(shù)，則g(x)=__________.

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三、解答題(本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.(本小題滿分12分)

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已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過點(，0)和(，1).

(Ⅰ)求實數(shù)a和b的值；

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(Ⅱ)若x[0，π]，求f(x)的最大值及相應(yīng)的x值.

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16.(本小題滿分13分)

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設(shè)甲，乙兩人每次投球命中的概率分別是，，且兩人各次投球是否命中相互之間沒有影響.

(Ⅰ)若兩人各投球1次，求兩人均沒有命中的概率；

(Ⅱ)若兩人各投球2次，求乙恰好比甲多命中1次的概率.

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17.(本小題滿分13分)

試題詳情

如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=，

AB=l，E是DD1的中點.

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(Ⅰ)求證：AC⊥BlD；

(Ⅱ)求二面角E－AC－B的大小.

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18.(本小題滿分14分)

試題詳情

在數(shù)列{an}中，a1=3，an=－an－1－2n+1(n≥2，且nN*).

(Ⅰ)求a2，a3的值；

(Ⅱ)證明：數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；

(Ⅲ)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

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19.(本小題滿分14分)

已知拋物線的方程為x2=2y，F(xiàn)是拋物線的焦點，過點F的直線l與拋物線相交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2相交于點M.

(Ⅰ)證明：l1⊥l2；

(Ⅱ)求點M的軌跡方程.

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20.(本小題滿分14分)

試題詳情

設(shè)aR，函數(shù)f(x)=3x3―4x+a+1.

( I )求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

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(Ⅱ)若對于任意x[－2，0]，不等式f(x)≤0恒成立，求a的最大值；

(Ⅲ)若方程f(x)=0存在三個相異的實數(shù)根，求a的取值范圍.

試題詳情

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1.B         2.C         3.A         4.A       5.B       6.C      7.D     8.C

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.0.3                 10.－1               11.4

12.24；81             13.1；45°          14.2 |x|

注：兩空的題目，第一個空2分，第二個空3分.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.

15.(本小題滿分12分)

(Ⅰ)解：

∵函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過點，

∴          2分  即                   4分

解得a=1，b=－.                                                         6分

(Ⅱ)解：

由(Ⅰ)得f(x)=sinx－cosx=2sin（）.                                   8分

∵0≤x≤π，              ∴－                               9分

當(dāng)x－，即x=時，sin取得最大值1.                        11分

∴f(x)在[0，π]上的最大值為2，此時x=.                                   12分

16.(本小題滿分13分)

(Ⅰ)解：

記“甲投球命中”為事件A，“乙投球命中”為事件B，則A，B相互獨立，

且P(A)=，P(B)=.

那么兩人均沒有命中的概率P=P()=P()P()=.         －5分

(Ⅱ)解：

記“乙恰好比甲多命中1次”為事件C，“乙恰好投球命中1次且甲恰好投球命中0次”為事件C1，“乙恰好投球命中2次且甲恰好投球命中1次”為事件C2，則C=C1+C2，C1，C2為互斥事件.

，                                             8分

?                                           11分

P(C)=P(C1)+P(C2)=.                                                        13分

17.(本小題滿分13分)

解法一：

連結(jié)BD.

∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，

∴B1B⊥平面ABCD，

∴BD是B1D在平面ABCD上的射影，

∵AC⊥BD，

根據(jù)三垂線定理得，AC⊥B1D.              5分

(Ⅱ)解：

設(shè)AC∩BD=F，連結(jié)EF.

∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

根據(jù)三垂線定理得AC⊥FE，    又AC⊥FB，

∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角.                                       －9分

在Rt△EDF中，由DE=DF=，得∠EFD=45°.                                12分

∴∠EFB=180°－45°=135°，

即二面角E－AC－B的大小是135°.                                            13分

解法二：

∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，

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    如圖，以D為原點，直線DA，DC，DD1分別為x軸，
    y軸，z軸，建立空間直角坐標系.             1分
    D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
    B1(1,1，).                               3分
    (Ⅰ)證明：
    ∵=（－1，1，0）， 
，
    ∴=0，
    ∴AC⊥B1D.                                      
                     6分
    (Ⅱ)解：
    連結(jié)BD，設(shè)AC∩BD=F，連結(jié)EF.
    ∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，
    ∴AC⊥FE，AC⊥FB，
    ∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角.                                        
9分
    ∵底面ABCD是正方形     ∴F,
    ∴，                                      12分
    ∴二面角E-AC-B的大小是135°                                      
       13分
    18.(本小題滿分14分)
    (Ⅰ)解：
    ∵a1=3，an=－an－1－2n+1(n≥2，且n∈N*)，
    ∴a2=－a1－4+1=－6，                  
2分   a3=－a2－6+1=1.              
4分
    (Ⅱ)證明：
    ∵
    ∴數(shù)列{an+n}是首項為a1+1=4，公比為－1的等比數(shù)列.                          7分
    ∴an+n=4?(－1)n－1, 即an=4?(－1)n－1－n，
    ∴{an}的通項公式為an=4?(－1)n－1－n(n∈N*).                                  
9分
    (Ⅲ)解：
    ∵{an}的通項公式an=4?(－1)n－1－n(n∈N*)，
    所以當(dāng)n是奇數(shù)時，Sn=?12分
    當(dāng)n是偶數(shù)時，Sn=?(n2+n).
    綜上，Sn=         
                           14分
    19.(本小題滿分14分)
    (Ⅰ)解：
    依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+，
    將其代入x2=2y，消去y整理得x2－2kx－1=0.                       
          2分
    設(shè)A,B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 
則x1x2=－1.        
              3分
    將拋物線的方程改寫為y=x2，求導(dǎo)得y′=x.
    所以過點A的切線l1的斜率是k1=x1，過點B的切線l2的斜率是k2=x2，
    因為k1k2=x1x2=－1，所以l1⊥l2.                 
                            6分
    (Ⅱ)解：
    直線l1的方程為y－y1=k1(x－x1)，即y－=x1(x－x1)，
    同理，直線l2的方程為y－=x2(x－x2)，
    聯(lián)立這兩個方程，消去y得=x2(x－x2)－x1(x－x1)，
    整理得(x1－x2)=0，注意到x1≠x2，所以x=.                  
10分
    此時)y=.                   
12分
    由(Ⅰ)知，x1+x2=2k,    所以x==k∈R，
    所以點M的軌跡方程是y=.                                             
14分
    20.(本小題滿分14分)
    (Ⅰ)解：
    f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=9x2－4.
    令f′(x)＞0，解得x＞，或x＜－；  令f′(x)＜0，解得－＜x＜.
    從而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,；單調(diào)遞減區(qū)間為.    
3分
    (Ⅱ)解:
    由f(x)≤0， 
得－a≥3x3－4x+1.                                 
              4分
    由(Ⅰ)得，函數(shù)y=3x3－4x+1在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
    從而當(dāng)x=－時，函數(shù)y=3x3－4x+1取得最大值.          
                 6分
    因為對于任意x∈[－2，0]，不等式f(x)≤0恒成立，
    故－a≥，即a≤－，
    從而a的最大值是－.                                                    8分
    (Ⅲ)解：
    當(dāng)x變化時，f(x)，f′(x)變化情況如下表：
    x
    f′(x)
    +
    0
    －
    0
    +
    f(x)
    ㄊ
    極大值a+
    ㄋ
    極小值a
    ㄊ
    ①由f(x)的單調(diào)性，當(dāng)極大值a+＜0或極小值a＞0時，方程f(x)=0最多有一個實數(shù)根；
    ②當(dāng)a=－時，解方程f(x)=0，得x=－，x=,即方程f(x)=0只有兩個相異的實數(shù)根；
    ③當(dāng)a=時，解方程f(x)=0，得x=,x=－，即方程f(x)=0只有兩個相異的實數(shù)根.
    如果方程f(x)=0存在三個相異的實數(shù)根，則解得
    a∈.               
                                           12分
    事實上，當(dāng)a∈時，
    ∵f(－2)=－15+a＜－15+＜0，且f(2)，17+a＞17－＞0，
    所以方程f(x)=0在內(nèi)各有一根.
    綜上，若方程f(x)=0存在三個相異的實數(shù)根，則a的取值范圍是.        
14分
     
    
				
	
    
		
    


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