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2009年福建省龍巖市普通高中畢業(yè)班單科質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)(理科)試題

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共８頁．

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)x₁，x₂，…，x_n的標(biāo)準(zhǔn)差： s=，其中為樣本平均數(shù) ；

柱體體積公式：V=Sh ，其中S為底面面積，h為高；

錐體體積公式：V=Sh，其中S為底面面積，h為高；

球的表面積、體積公式：，，其中R為球的半徑.

第I卷（選擇題共50分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

1. 已知i是虛數(shù)單位，實(shí)數(shù)滿足，則的值為（　�。�

A.－1 B. 0 C. 1 D. 2

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2. 計(jì)算的結(jié)果是（）

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A. B. C. D.

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3. 對(duì)某校400名學(xué)生的體重（單位：）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則

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學(xué)生體重在60以上的人數(shù)為（　�。�

A. 200

B. 100

C. 40

D. 20

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4. 右邊的程序運(yùn)行后，輸出的結(jié)果為（　�。�

A. 13，7

B. 7，4

C. 9，7

D. 9，5

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5. 已知橢圓的焦點(diǎn)分別為、，，

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離心率為．過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長為（　　）

A. 10 B. 12 C. 16 D. 20

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6. 已知函數(shù)，將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，

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縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則的解

析式為（　�。�

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A. B. C. D. .

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7. 下列說法正確的是（　�。�

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A. 函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是直線

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B. 若命題P：“存在，”，則命題P的否定：“任意，”C. 若，則

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D. “”是“直線與直線互相垂直”的充要條件

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8. 設(shè)、是兩條不同直線，、、是三個(gè)不同平面，給出下列四個(gè)命題：

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①若，，則 ②若，，，則

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③若，，則 ④若，，則

其中正確命題的序號(hào)是（　�。�

A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④

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9. 對(duì)任意兩個(gè)正整數(shù)m、n定義某種運(yùn)算+：，則集合N中元素的個(gè)數(shù)為（　�。�

A. 21 B. 22 C. 23 D. 24

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10. 把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表．設(shè)（i，j∈N^*）是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如＝8．

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若＝2009，則i與j的和為（）

A. 105 B. 106

C. 107 D. 108

第Ⅱ卷（非選擇題共100分）

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二、填空題：本大題共5小題，每小題４分，共20分，請(qǐng)把正確答案填在后面橫線上．

11. 袋中有3個(gè)黑球，1個(gè)紅球．從中任取2個(gè)，取到一個(gè)黑球得0分，取到一個(gè)紅球得2

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分，則所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望 .　

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12. 已知二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15，則實(shí)數(shù)為 .

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13. 設(shè)向量a,b滿足| a－b |=2，| a |=2，且a－b與a的夾角為，則| b |= .

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14. 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，. 若，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .

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15. 對(duì)任意正整數(shù)，定義的雙階乘如下：

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當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；

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當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.

現(xiàn)有四個(gè)命題：

①（2009！�。�?（2008�。。�=2009！； ②　2008?2008！！=2009�。。� 2008！�。�

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③　2009�。〉膫€(gè)位數(shù)字為5； ④（a+b）!! = a!!+b!!（a、b N^*）

其中所有正確命題的序號(hào)是 .

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三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

16.（本小題滿分13分）

已知，且.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，求cos的值.

17.（本小題滿分13分）

如圖，在體積為1的三棱柱中，側(cè)棱底面，，

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，為線段上的動(dòng)點(diǎn).

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（Ⅰ）求證：；

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（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，二面角的

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大小為？

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18. (本小題滿分13分)

近段時(shí)間我國北方嚴(yán)重缺水, 某城市曾一度取消洗車行業(yè). 時(shí)間久了，車容影響了市容市

貌. 今年該市決定引進(jìn)一種高科技產(chǎn)品污水凈化器，允許洗車行開始營業(yè)，規(guī)定洗車行必須購買這種污水凈化器，使用凈化后的污水(達(dá)到生活用水標(biāo)準(zhǔn))洗車. 污水凈化器的價(jià)格是每臺(tái)90萬元，全市統(tǒng)一洗車價(jià)格為每輛每次8元. 該市今年的汽車總量是80000輛，預(yù)計(jì)今后每年汽車數(shù)量將增加2000輛.洗車行A經(jīng)過測(cè)算，如果全市的汽車總量是x，那

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么一年內(nèi)在該洗車行洗車的平均輛次是，該洗車行每年的其他費(fèi)用是20000元. 問：

洗車行A從今年開始至少經(jīng)過多少年才能收回購買凈化器的成本？

（注：洗車行A買一臺(tái)污水凈化器就能滿足洗車凈水需求）

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19.（本小題滿分13分）

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已知拋物線C:上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.

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（Ⅰ）求拋物線C的方程；

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（Ⅱ）設(shè)，是拋物線C上任意兩點(diǎn)，且

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（，且為常數(shù)）. 過弦AB的中點(diǎn)

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M作垂直于軸的直線交拋物線于點(diǎn)D，連結(jié)AD、BD

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得到，求證：的面積為定值；

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（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，分別過弦AD、BD的中點(diǎn)作垂直于

軸的直線依次交拋物線于點(diǎn)E、F，連結(jié)AE、DE和BF、

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DF，得到和，并按此方法繼續(xù)下去. 若設(shè)

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,，是第n次操作時(shí)得到的個(gè)三角形面積

的和，記，求證：.

20.（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù)（R）.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極值；

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（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

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（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意正整數(shù)n，在區(qū)間上總存在m+4個(gè)數(shù)

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使得

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成立，試問：正整數(shù)m是否有最大值？若有求其最大值；否則，說明理由.

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21. 本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．

（1）（本小題滿分7分）選修4－2：矩陣與變換

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已知矩陣P=，Q=，若矩陣PQ對(duì)應(yīng)的變換把直線變?yōu)橹本€，求、的值.

（2）（本小題滿分7分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

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已知直線的極坐標(biāo)方程是．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橢圓Ｃ的參數(shù)方程是（為參數(shù)），求直線和橢圓Ｃ相交所成弦的弦長．

（3）（本小題滿分7分）選修4－5：不等式選講

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已知實(shí)數(shù)滿足，，求證：.

2009年龍巖市普通高中畢業(yè)班單科質(zhì)量檢查

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說明：

一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.

二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.

三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分50分.

1. B 2. C 3. B 4.C 5.D 6.A 7. B 8. A 9. C 10. C

二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分20分.

11. 1 12. 13. 2 14. 15. ①③

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16. 本題主要考查三角函數(shù)的倍角公式、兩角和公式等基本知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能

力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）因?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e ，

兩邊同時(shí)平方得

. ………………………………………（4分）

又，

所以. ………………………………………（6分）

（Ⅱ）因?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e ，，

所以，得.

又,知. …………………（9分）

. ………………………………………（13分）

6ec8aac122bd4f6e 17. 本題主要考查線線位置關(guān)系，二面角的求法等基本知識(shí)，考查空間想像能力，運(yùn)算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）證明：連結(jié)，

側(cè)棱底面ABC，

，又.

平面.

又平面，

. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………（3分）

，

四邊形為正方形，

，平面 .

又平面，. 　　　　　　　　…………（6分）

（Ⅱ）.

平面.

又， .

如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系-xyz，設(shè)AP=x，則

6ec8aac122bd4f6e 、、、.

　　知面的一個(gè)法向量為，　　　　　 ……（9分）

設(shè)面的一個(gè)法向量為，

　　， .

　　由得

　　令，　 ………（11分）

依題意：=

解得（不合題意，舍去），

　時(shí)，二面角的大小為. 　 …………（13分）

18．本題主要考查數(shù)列與不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題與解決問題的能力，

考查應(yīng)用意識(shí). 滿分13分.

解：設(shè)第一年（今年）的汽車總量為，第n年的汽車總量為，則

，

…

數(shù)列構(gòu)成的首項(xiàng)為80000，公差為2000的等差數(shù)列，

.　　 ………………………（4分）

若洗車行A從今年開始經(jīng)過n年可以收回購買凈化設(shè)備的成本. 則（）-20000n≥900000，………………………（8分）

整理得，

因?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e ，所以　.

答：至少要經(jīng)過6年才能收回成本.　…………………………………………（13分）

19．本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系、等比數(shù)列求和等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和分析問題、解決問題的能力. 滿分13分

解：（Ⅰ）依題意得：，解得.

所以拋物線方程為 . ………………………………………………（3分）

（Ⅱ）若，即直線AB垂直于x軸，不防設(shè)，

由又由拋物線對(duì)稱性可得：.

　　又，得，故S_△ABD=.　　 …………………………（4分）

若，設(shè)直線AB方程：，

由方程組消去得：.（※）

依題意可知：.

由已知得，. ……………………………………（5分）

由，得，

即，整理得.

所以 . 　　　 …………………………………………（6分）

中點(diǎn)，

所以點(diǎn)，

依題意知.　　

又因?yàn)榉匠蹋ā┲信袆e式，得.

所以，又，

所以.

又為常數(shù)，故的面積為定值. …………………………………（9分）

（Ⅲ）依題意得：…，.

故…

＜. 　　　　　………………………………（13分）

　　注：本題第（Ⅱ）問另解，參照本標(biāo)準(zhǔn)給分；第（Ⅲ）問若用定積分證明，同樣給分.

20. 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

性質(zhì)的方法，考查分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 滿分14分.

解：（Ⅰ）依題意，知的定義域?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e .

當(dāng)時(shí)，，.

令，解得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， .

又，

所以的極小值為，無極大值 . …………………………（3分）

（Ⅱ）

令，解得.　　　　　…………………………（4分）

若，令，得；令，得 .

若，

①當(dāng)時(shí)，，

令，得或；

令，得.

②當(dāng)時(shí)，.

③當(dāng)時(shí)，得，

令，得或；

令，得.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.　

當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.　 …………………………（9分）

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，

由，知時(shí)， . ， .

依題意得：對(duì)一切正整數(shù)成立. 　……………（11分）

令，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.

又在區(qū)間單調(diào)遞增，得，

故，又為正整數(shù)，得，

當(dāng)時(shí)，存在，，

對(duì)所有滿足條件.

所以，正整數(shù)的最大值為32. 　　　　…………………………………（14分）

21. （1）本題主要考查矩陣乘法與變換等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思

想. 滿分7分.

解：PQ＝，

PQ矩陣表示的變換T：滿足條件

　　所以　　　　　　　　　　　　　　　………………………（3分）

　　直線任取點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，

　　故，又，得

　　所以　　　　 ………………………………………（7分）

（2）本題主要考查直線極坐標(biāo)方程和橢圓參數(shù)方程等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.

解：由題意知直線和橢圓方程可化為：

， ①

． ②　　　　　 …………………………（２分）

①②聯(lián)立，消去得：，解得，．

設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則

　．

故所求的弦長為．　　　　 &n

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