湖北省武漢市武昌區(qū) 2009屆高三年級五月調(diào)研測試
理 科 數(shù) 學(xué) 試 卷
2009.5.21
本試卷滿分150分,考試用時120分鐘.
注意事項:
1.答卷前,考生務(wù)必將自已的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上,并將準(zhǔn)
考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2.選擇題選出答案后,有2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改
動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。非選擇題用黑色墨水的簽字筆直接答在
答題卡上。答在試題卷上無效。
參考公式:
如果事件A、B互斥,那么
如果事件A、B相互獨立,那么
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是,那么n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率
球的表面積公式,其中表示球的半徑
球的體積公式,其中表示球的半徑
一.選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知I為實數(shù)集,集合,則=( )
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的平方為( )
A.1+2i B.3+2i C.-1-2i D.-1+2i
3.函數(shù)f(x)在點x=x0處有定義是f(x)在點x=x0處有極限的( )
A.充分條件,但不是必要條件 B.必要條件,但不是充分條件
C.充要條件 D.既非充分也非必要的條件
4.已知直線按向量平移后得到的直線與圓相切,那么的值為( )
A.或1 B.0或 C.或7 D.或
5.如圖,P為△OAB所在平面上一點,, 且P在線段AB的垂直平分線上,向量,若 ,則=( )
A. B.
6.已知等比數(shù)列的公比為,其前項和為,若成等差數(shù)列,則等于( )
A. B.
7.設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足,則過曲線y=f(x)上一點處的切線斜率為( )
A.4 B
8.設(shè)a,b,m為正整數(shù),若a和b除以m的余數(shù)相同,則稱a和b對m同余. 記作,已知,則b的值可以是( )
A. 1012 B.
9.如圖,已知球是棱長為2 的正方體 的內(nèi)切球,則平面截球的截
面面積為 ( )
A. B.
C. D.
10.已知點P是橢圓上的動點,F(xiàn)、F分別為橢圓的左、右焦點,O為坐標(biāo)原點,則的取值范圍( )
A.[0,] B. [0,] C. [0,2 ) D.
二.填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.
11.雙曲線的焦點坐標(biāo)為 .
12.已知角滿足條件,則的值為 .
13若表示的平面區(qū)域是三角形,則實數(shù)的取值范圍是 .
14.某次抽樣調(diào)查結(jié)果表明,考生的成績(百分制)近似服從正態(tài)分布,平均成績?yōu)?2分,96分以上的考生占考生總數(shù)的2.3%,則考生成績在60至84分之間的概率為 . (參考數(shù)據(jù):=0.8413,=0.9770,=0.9987)
15.設(shè)函數(shù)使關(guān)于的不等式在至少存在一個解,則實數(shù)的取值范圍為
三.解答題:本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
已知,,其中,設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若關(guān)于的方程有兩相異實根,求實數(shù)的取值范圍.
17.(本小題滿分12分)
為了迎接中華人民共和國建國60周年,中央電視臺為慶典擬舉辦一期選拔節(jié)目,選拔一批素質(zhì)較為過硬的群眾參加天安門城樓的義務(wù)服務(wù)工作,假定符合參加選拔條件的每個選手還需要進行四輪考核,每輪設(shè)有一個問題,能正確回答問題者進入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為,,,,且各輪問題能否正確回答互不影響.
(2)該選手在選拔過程中回答過的問題的總個數(shù)記為,求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
18.(本小題滿分12分)
如圖所示,在直角梯形ABCP中,AP//BC,APAB, AB=BC=,D是AP的中點,E,F(xiàn),G分別為PC、PD、CB的中點,將沿CD折起,使得平面ABCD.
(1)求證:AP//平面EFG;
(2) 求與平面所成角的大小.
(3)求二面角的大小.
19.(本小題滿分12分)
已知點,點在軸上,點在軸正半軸上,點滿足,.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)已知點,若過點的動直線交軌跡于兩點,直線交軌跡于另一點,證明直線恒過一個定點,并求出定點坐標(biāo).
20.(本小題滿分13分)
已知.
(1)當(dāng)a>0時,判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為,求a的值;
(3)若f(x)<x在(1,+)上恒成立,試求a的取值范圍.
21.(本小題滿分14分)
把正奇數(shù)列中的數(shù)按上小下大,左小右大的原則排列成如圖“三角形”所示的數(shù)表.設(shè)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第行,從左向右數(shù)第個數(shù).
(1)若,求的值;
(2)已知函數(shù)的反函數(shù)為,),若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第行各數(shù)的和為.①求數(shù)列的前項的和.②令的前項之積為,求證:
且當(dāng)或時,.當(dāng)時,. …………………………10分
結(jié)合圖象可知所求的取值范圍為. ……………………………………12分
17.解:(1)記“該選手能正確回答第輪問題”的事件為,
則.
該選手進入第四輪才被淘汰的概率:
.……………6分
(2)由題意的所有可能取值分別是1, 2, 3, 4,且
,
,
方法二: 連AC,BD交于O點,連GO,FO,EO.
∵E,F分別為PC,PD的中點,
∴//,同理//
又//AB,//
平面EFG//平面PAB.
又PA平面PAB,平面EFG.………………………………………4分
(2)由已知底面ABCD是正方形, .
又∵面ABCD,.
又,平面PCD,.
過點F作于,則.
連結(jié),則為直線與平面所成的角. …………………6分
由∽,得.在中求得.
而, ,.
.即動點的軌跡的方程為.…………4分
(2)設(shè)點,,.
三點共線,,即.
即,. ………………………………………6分
三點共線,,即.
,即.
=f(e)=1-=,得a=(舍去). …………………………………6分
③若即-e<a<-1,則在(1,)上為減函數(shù),在(,e)上為增函時數(shù).=f(-a)==,得.
綜上知a=-.……………………………………………………………………8分
(3)由,得.
令,則.
于是.由知.
在上單調(diào)遞減,從而.
所以在上單調(diào)遞減,于是
∴. ………………………………………………………8分
②,
即證:. …………………………………10分
先證:.
1°時,顯然成立.
2°假設(shè)時,.
則時,
,即當(dāng)時,也成立.
由1°2°知成立.
從而
. ………………………………………14分
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