鎮(zhèn)江市2009屆高三解析幾何專項練習

1.在平面直角坐標系xOy中,平行于x軸且過點A的入射光線l1被直線l:反射,反射光線l2交y軸于B點.圓C過點A且與l1、l2相切.

(1)求l2所在的直線的方程和圓C的方程;

(2)設P、Q分別是直線l和圓C上的動點,求PB+PQ的最小值及此時點P的坐標.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解:

1.(Ⅰ)直線

 的傾斜角為,

反射光線所在的直線方程為

.   即

已知圓C與

圓心C在過點D且與垂直的直線上,  ①

又圓心C在過點A且與垂直的直線上,、,由①②得,

圓C的半徑r=3.

故所求圓C的方程為.  

 

(Ⅱ)設點關(guān)于的對稱點,

            

.固定點Q可發(fā)現(xiàn),當共線時,最小,

的最小值為為.              

,得最小值

 

 

 

 

 

2.(本小題滿分15分)

如圖,平面直角坐標系中,為兩等腰直角三角形,,C(a,0)(a>0).設的外接圓圓心分別為,

(Ⅰ)若⊙M與直線CD相切,求直線CD的方程;

(Ⅱ)若直線AB截⊙N所得弦長為4,求⊙N的標準方程;

(Ⅲ)是否存在這樣的⊙N,使得⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為,若存在,求此時⊙N的標準方程;若不存在,說明理由.

 

2 .解:(Ⅰ)圓心

∴圓方程為,

直線CD方程為.           

∵⊙M與直線CD相切,

∴圓心M到直線CD的距離d=,         

化簡得: (舍去負值).

∴直線CD的方程為.          

(Ⅱ)直線AB方程為:,圓心N

  ∴圓心N到直線AB距離為.  

∵直線AB截⊙N的所得弦長為4,

∴a=±(舍去負值) .                      

∴⊙N的標準方程為.   

(Ⅲ)存在.

由(Ⅱ)知,圓心N到直線AB距離為(定值),且AB⊥CD始終成立,

∴當且僅當圓N半徑,即a=4時,⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為 .       

此時, ⊙N的標準方程為.       

 

3.(本題滿分16分)

  設曲線C:的離心率為,右準線與兩漸近線交于P,Q兩點,其右焦點為F,且△PQF為等邊三角形。

 (1)求雙曲線C的離心率;

 (2)若雙曲線C被直線截得弦長為,求雙曲線方程;

   (3)設雙曲線C經(jīng)過,以F為左焦點,為左準線的橢圓的短軸端點為B,求BF 中點的軌跡N方程。

 

3. 解:⑴如圖:易得P                           

設右準線軸的交點為M,

∵△PQF為等邊三角形

∴|MF|=|PM|                                   

化簡得:                                       

            

 ⑵ 由⑴知:

∴雙曲線方程可化為:,即   

聯(lián)列方程:

消去得:

由題意:    (*)                           

設兩交點A,B

∴|AB|==

化簡得:,即

解得:,均滿足(*)式              

  或

∴所求雙曲線方程為:   

  ⑶由⑴知雙曲線C可設為:

∵其過點A      ∴

∴雙曲線C為:                          

∴其右焦點F,右準線

設BF的中點N,則B               

由橢圓定義得:(其中為點B到的距離)

化簡得:

∵點B是橢圓的短軸端點,故

∴BF的中點的軌跡方程是:(或

 

 

4.(本小題滿分12分)已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點M(1,4),曲線在點M處的切線恰好與直線垂直。

(1)求實數(shù)a、b的值;

(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求m的取值范圍。

 

       

      解得a=1,b=3

      (2)

       

       

      6.(本小題滿分12分)

      已知直線相交于A、B兩點,M是線段AB上的一點,,且點M在直線上.

         (Ⅰ)求橢圓的離心率;

         (Ⅱ)若橢圓的焦點關(guān)于直線的對稱點在單位圓上,求橢圓的方程.

      6.解:(Ⅰ)由知M是AB的中點,

      設A、B兩點的坐標分別為

      ,

      ∴M點的坐標為                                

      又M點的直線l上:

            

         (Ⅱ)由(Ⅰ)知,不妨設橢圓的一個焦點坐標為關(guān)于直線l:

      上的對稱點為,

      則有                      

      由已知

      ,∴所求的橢圓的方程為                      

      7.已知橢圓的方程為,雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點,

      的左、右頂點分別是的左、右焦點。

      (1)求雙曲線的方程;

      (2)若直線與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B,且(其

      中O為原點),求的范圍

      7.解:(1)設雙曲線的方程為 

      ,再由

      的方程為    

      (2)將代入

        

      由直線與雙曲線C2交于不同的兩點得:

       

      ①            

      ,則

       

      ,得

      ,解得:②        

      由①、②得:

      故k的取值范圍為 

      8.(本小題滿分13分)

      已知拋物線C的一個焦點為F(,0),對應于這個焦點的準線方程為x=-.

      (1)寫出拋物線C的方程;

      (2)過F點的直線與曲線C交于A、B兩點,O點為坐標原點,求△AOB重心G的軌跡方程;

      (3)點P是拋物線C上的動點,過點P作圓(x-3)2+y2=2的切線,切點分別是M,N.當P點在何處時,|MN|的值最。壳蟪鰘MN|的最小值.

      解:(1)拋物線方程為:y2=2x.                                       

      (2)①當直線不垂直于x軸時,設方程為y=k(x-),代入y2=2x,

      得:k2x2-(k2+2)x+.

      設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-1)=.

      設△AOB的重心為G(x,y)則

      消去k得y2=為所求,                                  

      ②當直線垂直于x軸時,A(,1),B(,-1),                

      △AOB的重心G(,0)也滿足上述方程.

      綜合①②得,所求的軌跡方程為y2=,                      

      (3)設已知圓的圓心為Q(3,0),半徑r=,

      根據(jù)圓的性質(zhì)有:|MN|=2.    

      當|PQ|2最小時,|MN|取最小值,

      設P點坐標為(x0,y0),則y=2x0.

      |PQ|2=(x0-3)2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5,

      ∴當x0=2,y0=±2時,|PQ|2取最小值5,

      故當P點坐標為(2,±2)時,|MN|取最小值.                     

      9.(本題滿分14分)已知圓,直線 ,與圓交與兩點,點

      。

      (1)當時,求的值;   (2)當時,求的取值范圍。

      9.解:(1)圓的方程可化為,故圓心為,半徑

      時,點在圓上,又,故直線過圓心,∴……

        從而所求直線的方程為                     

      (2)設

                   即

                  ①        

      聯(lián)立得方程組,化簡,整理得

                  ………….(*)

      由判別式且有。。

      代入 ①式整理得,從而,又

      可得k的取值范圍是。。

       

      10.(本小題滿分14分)已知△ABC三頂點分別為A(-3,0),B(3,0),C(x,y).

         (1)當BC邊上的高所在直線過點D(0,2)時,求點C的軌跡方程;

         (2)△ABC的周長為16時,點C在以AB為焦點的橢圓上,求橢圓方程;

         (3)若斜率為k的直線與(2)中的橢圓交于不同的兩點MN,求證:當直線平行移動時MN的中點恒在一條過原點的直線上.

      解:10.(1)A(-3,0),B(3,0),D(0,2),C(x,y)

          則=(3,2),=(x-3,y

          由得3(x-3)+2y=0

          ∴C點的軌跡方程為3x+2y-9=0

         (2)三角形周長等于16,則|AC|+|BC|=2a=10

          a=5,c=3,b=4,橢圓

         (3)設斜率為k的直線方程為y=kx+m

          則由得(16+25k2)x2+50km+25m2-400=0

          △>0時設M(x1,y1),N(x2y2),MN中點G(x,y

          由有x1+x2=

          y 1+y2=k(x1+x2)+2b=

          ∴k為常數(shù),m為參數(shù))

          ∴G點軌跡方程為

          即y=-, 當k=0時,G點的軌跡為y軸所在的線段;

          當k≠0時,G點軌跡方程y=-

          即當直線平行移動時,MN的中點恒在一條過原點的直線上。


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