⑾、用長(zhǎng)度分別為2、3、4、5、6（單位：）的5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為

A．      B．          C．          D．

⑿、設(shè)集合。選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A(yíng)中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有

A．        B．              C．             D．

2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

第Ⅱ卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2頁(yè)，請(qǐng)用黑色簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效。

3．本卷共10小題，共90分。

⒀、已知正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于_______________。

⒁、設(shè)，式中變量滿(mǎn)足下列條件

則z的最大值為_(kāi)____________。

⒂、安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________種。（用數(shù)字作答）

⒃、設(shè)函數(shù)。若是奇函數(shù)，則__________。

⒄、（本小題滿(mǎn)分12分）

的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。

⒅、（本小題滿(mǎn)分12分）

A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀(guān)察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱(chēng)該試驗(yàn)組為甲類(lèi)組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為。

（Ⅰ）求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類(lèi)組的概率；

（Ⅱ）觀(guān)察3個(gè)試驗(yàn)組，用表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類(lèi)組的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。

⒆、（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，、是互相垂直的異面直線(xiàn)，MN是它們的公垂線(xiàn)段。點(diǎn)A、B在上，C在上，。

（Ⅰ）證明⊥；

（Ⅱ）若，求與平面ABC所成角的余弦值。

⒇、（本小題滿(mǎn)分12分）

在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線(xiàn)C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量。求：

（Ⅰ）點(diǎn)M的軌跡方程；

（Ⅱ）的最小值。

（21）、（本小題滿(mǎn)分14分）

已知函數(shù)。

（Ⅰ）設(shè)，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若對(duì)任意恒有，求的取值范圍。

（22）、（本小題滿(mǎn)分12分）

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和

，

（Ⅰ）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；

（Ⅱ）設(shè)，，證明：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

B

C

B

C

A

D

B

B

B

1．解：=，=，

∴ ，選B.

2．解：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以是的反函數(shù)，即=，∴ ，選D.

3．雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，∴ m<0，且雙曲線(xiàn)方程為，∴ m=，選A.

4．復(fù)數(shù)=(m²－m)+(1+m³)i是實(shí)數(shù)，∴ 1+m³=0，m=－1，選B.

5．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間滿(mǎn)足，

  ∴ 單調(diào)增區(qū)間為，選C.

6．中，a、b、c成等比數(shù)列，且，則b=a，

=，選B.

7．正四棱柱高為4，體積為16，底面積為4，正方形邊長(zhǎng)為2，正四棱柱的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)即球的直徑為2，∴ 球的半徑為，球的表面積是，選C.

8．設(shè)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)為(m，－m²)，該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，當(dāng)m=時(shí)，取得最小值為，選A.

9．向量、、的和。向量、、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與、、同向，且，∴ ，選D.

10．是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則，，∴ d=3，，，選B.

11．用2、5連接，3、4連接各為一邊，第三邊長(zhǎng)為7組成三角形，此三角形面積最大，面積為，選B.

12．若集合A、B中分別有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有=10種；若集合A中有一個(gè)元素，集合B中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有=10種；若集合A中有一個(gè)元素，集合B中有三個(gè)元素，則選法種數(shù)有=5種；若集合A中有一個(gè)元素，集合B中有四個(gè)元素，則選法種數(shù)有=1種；若集合A中有兩個(gè)元素，集合B中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有=10種；若集合A中有兩個(gè)元素，集合B中有兩個(gè)個(gè)元素，則選法種數(shù)有=5種；若集合A中有兩個(gè)元素，集合B中有三個(gè)元素，則選法種數(shù)有=1種；若集合A中有三個(gè)元素，集合B中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有=5種；若集合A中有三個(gè)元素，集合B中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有=1種；若集合A中有四個(gè)元素，集合B中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有=1種；總計(jì)有，選B.

解法二：集合A、B中沒(méi)有相同的元素，且都不是空集，

從5個(gè)元素中選出2個(gè)元素，有=10種選法，小的給A集合，大的給B集合；

從5個(gè)元素中選出3個(gè)元素，有=10種選法，再分成1、2兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有2×10=20種方法；

從5個(gè)元素中選出4個(gè)元素，有=5種選法，再分成1、3；2、2；3、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有3×5=15種方法；

從5個(gè)元素中選出5個(gè)元素，有=1種選法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有4×1=4種方法；

總計(jì)為10+20+15+4=49種方法。選B.

13.     14. 11   15. 2400     16. 

13．正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為2，底面積為12，所以正四棱錐的高為3，則側(cè)面與底面所成的二面角的正切tanα=, ∴ 二面角等于。

14．，在坐標(biāo)系中畫(huà)出圖象，三條線(xiàn)的交點(diǎn)分別是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中滿(mǎn)足的最大值是點(diǎn)C，代入得最大值等于11.

15．先安排甲、乙兩人在后5天值班，有=20種排法，其余5人再進(jìn)行排列，有=120種排法，所以共有20×120=2400種安排方法。

16．，

則=，為奇函數(shù)，∴ φ=.

17.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .

cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin² + 2sin

=－2(sin － )²+

當(dāng)sin = , 即A=時(shí), cosA+2cos取得最大值為

18.解: (1)設(shè)A_i表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

B_i表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依題意有: P(A₁)=2×× = , P(A₂)= × = . P(B₀)= × = ,

P(B₁)=2× × = , 所求概率為: P=P(B₀?A₁)+P(B₀?A₂)+P(B₁?A₂)

= × + × + × =

(Ⅱ)ξ的可能值為0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()³= , P(ξ=1)=C₃¹××()²=

, P(ξ=2)=C₃²×()²× =   , P(ξ=3)=( )³=

ξ

0

1

2

3

P

ξ的分布列為:

數(shù)學(xué)期望: Eξ=3× = .

19.解法一: (Ⅰ)由已知l₂⊥MN, l₂⊥l₁ , MN∩l₁ =M, 可得l₂⊥平面ABN.由已知MN⊥l₁ , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影.

∴AC⊥NB

（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC為正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心,連結(jié)BH,∠NBH為NB與平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .

解法二: 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系M－xyz.令MN=1, 則有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),

(Ⅰ)∵M(jìn)N是 l₁、l₂的公垂線(xiàn), l₁⊥l₂, ∴l(xiāng)₂⊥平面ABN. l₂平行于z軸. 故可設(shè)C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴?=1+(－1)+0=0  ∴AC⊥NB.

(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC為正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).

連結(jié)MC,作NH⊥MC于H,設(shè)H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1－λ,－λ),

=(0,1, ). ? = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,

∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 連結(jié)BH,則=(－1,, ),

∵?=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

∠NBH為NB與平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),

∴cos∠NBH= =  =

20.解: 橢圓方程可寫(xiě)為: + =1   式中a>b>0 , 且  得a²=4,b²=1,所以曲線(xiàn)C的方程為:  x²+ =1 (x>0,y>0). y=2(0<x<1) y '=－

設(shè)P(x₀,y₀),因P在C上,有0<x₀<1, y₀=2, y '|_x=x0= － ,得切線(xiàn)AB的方程為:

y=－ (x－x₀)+y₀ . 設(shè)A(x,0)和B(0,y),由切線(xiàn)方程得 x= , y= .

由= +得M的坐標(biāo)為(x,y), 由x₀,y₀滿(mǎn)足C的方程,得點(diǎn)M的軌跡方程為:

+ =1 (x>1,y>2)  

(Ⅱ)| |²= x²+y²,  y²= =4+ ,

∴| |²= x²－1++5≥4+5=9.且當(dāng)x²－1= ,即x=>1時(shí),上式取等號(hào).

故||的最小值為3.

21.解(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?－∞,1)∪(1,+∞).對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù)得 f '(x)= e^－ax.  

(?)當(dāng)a=2時(shí), f '(x)= e^－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).為增函數(shù).

(?)當(dāng)0<a<2時(shí), f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數(shù).

(?)當(dāng)a>2時(shí), 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x₁= － , x₂= .

當(dāng)x變化時(shí), f '(x)和f(x)的變化情況如下表:

x

(－∞, －)

(－,)

(,1)

(1,+∞)

f '(x)

＋

－

＋

＋

f(x)

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄊ

f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)為增函數(shù), f(x)在(－,)為減函數(shù).

(Ⅱ)(?)當(dāng)0<a≤2時(shí), 由(Ⅰ)知: 對(duì)任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.

(?)當(dāng)a>2時(shí), 取x₀= ∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x₀)<f(0)=1

(?)當(dāng)a≤0時(shí), 對(duì)任意x∈(0,1),恒有 >1且e^－ax≥1,得

f(x)= e^－ax≥ >1. 綜上當(dāng)且僅當(dāng)a∈(－∞,2]時(shí),對(duì)任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.

22.解: (Ⅰ)由 S_n=a_n－×2ⁿ⁺¹+, n=1,2,3，… , ①  得 a₁=S₁= a₁－×4+ 所以a₁=2.

再由①有 S_n－1=a_n－1－×2ⁿ+, n=2,3，4,…

將①和②相減得: a_n=S_n－S_n－1= (a_n－a_n－1)－×(2ⁿ⁺¹－2ⁿ),n=2,3, …

整理得: a_n+2ⁿ=4(a_n－1+2^n－1),n=2,3, … , 因而數(shù)列{ a_n+2ⁿ}是首項(xiàng)為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即 : a_n+2ⁿ=4×4^n－1= 4ⁿ, n=1,2,3, …, 因而a_n=4ⁿ－2ⁿ, n=1,2,3, …,

(Ⅱ)將a_n=4ⁿ－2ⁿ代入①得 S_n= ×(4ⁿ－2ⁿ)－×2ⁿ⁺¹ + = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ⁺¹－2)

   = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ－1)   

 T_n= = × = ×( － )

所以, = － )  = ×( － ) <