1．函數(shù)的最小正周期是（　�。�

Ａ．          Ｂ．           Ｃ．         Ｄ．

2．設(shè)集合，則滿足的集合的個(gè)數(shù)是（　�。�

Ａ．1            Ｂ．3            Ｃ．4            Ｄ．8

3．設(shè)是上的任意函數(shù)，下列敘述正確的是（　　）

Ａ．是奇函數(shù)                Ｂ．是奇函數(shù)

Ｃ．是偶函數(shù)             Ｄ．是偶函數(shù)

4．的值為（　　）

Ａ．61           Ｂ．62           Ｃ．63           Ｄ．64

5．方程的兩個(gè)根可分別作為（　�。�

Ａ．一橢圓和一雙曲線的離心率              Ｂ．兩拋物線的離心率

Ｃ．一橢圓和一拋物線的離心率              Ｄ．兩橢圓的離心率

6．給出下列四個(gè)命題：

①垂直于同一直線的兩條直線互相平行

②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行

③若直線與同一平面所成的角相等，則互相平行

④若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線是異面直線

其中假命題的個(gè)數(shù)是（　　）

Ａ．1            Ｂ．2            Ｃ．3            Ｄ．4

7．雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是（　�。�

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ．

8．設(shè)是上的一個(gè)運(yùn)算，是的非空子集，若對(duì)任意，有，則稱對(duì)運(yùn)算封閉．下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是（　　）

Ａ．自然數(shù)集              Ｂ．整數(shù)集           Ｃ．有理數(shù)集              Ｄ．無理數(shù)集

9．的三內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為．設(shè)向量，．若，則角的大小為（　�。�

Ａ．          Ｂ．          Ｃ．          Ｄ．

10．已知等腰的腰為底的2倍，則頂角的正切值是（　�。�

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．             Ｄ．

11．與方程的曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線的方程為（　�。�

Ａ．            Ｂ．

Ｃ．         Ｄ．

12．曲線與曲線的（　�。�

Ａ．離心率相等           Ｂ．焦距相等              Ｃ．焦點(diǎn)相同              Ｄ．準(zhǔn)線相同

2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）

數(shù)  學(xué)（供文科考生使用）

第II卷（非選擇題，共90分）

13．方程的解為        ．

14．設(shè)則　　　　．

15．如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是________．

16．5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員．現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1，2，3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，且1，2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有________種．（以數(shù)作答）

17．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，求

（1）函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；

（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

18．（本小題滿分12分）

甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率都為0.6，且參賽同學(xué)的成績(jī)相互之間沒有影響，求：

（1）甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率；

（2）甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率．

19．（本小題滿分12分）

已知正方形，分別是邊的中點(diǎn)，將沿折起，如圖所示，記二面角的大小為（）．

（1）證明平面；

（2）若為正三角形，試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上，證明你的結(jié)論，并求角的余弦值．

20．（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，．

（1）求的值；

（2）若與的等差中項(xiàng)為，滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

21．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，，其中，設(shè)為的極小值點(diǎn)，為的極值點(diǎn)，，并且，將點(diǎn)依次記為．

（1）求的值；

（2）若四邊形為梯形且面積為1，求的值．

22．（本小題滿分14分）

已知點(diǎn)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足，設(shè)圓的方程為．

（1）證明線段是圓的直徑；

（2）當(dāng)圓的圓心到直線的距離的最小值為時(shí)，求的值．

2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）

數(shù)學(xué)（供文科考生使用）

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

參考公式：

如果事件互斥，那么

如果事件相互獨(dú)立，那么

球的表面積公式，其中表示球的半徑

球的體積公式，其中表示球的半徑

如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率

1．函數(shù)的最小正周期是（　D　）

Ａ．          Ｂ．           Ｃ．         Ｄ．

解：，選D

2．設(shè)集合，則滿足的集合的個(gè)數(shù)是（C　�。�

Ａ．1            Ｂ．3            Ｃ．4            Ｄ．8

解：，，則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合的子集個(gè)數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有個(gè)。故選擇答案C。

3．設(shè)是上的任意函數(shù)，下列敘述正確的是（　C�。�

Ａ．是奇函數(shù)                Ｂ．是奇函數(shù)

Ｃ．是偶函數(shù)             Ｄ．是偶函數(shù)

解：A中則，

即函數(shù)為偶函數(shù)，B中，此時(shí)與的關(guān)系不能確定，即函數(shù)的奇偶性不確定，

C中，，即函數(shù)為奇函數(shù)，D中，

，即函數(shù)為偶函數(shù)，故選擇答案C。

4．的值為（B　�。�

Ａ．61           Ｂ．62           Ｃ．63           Ｄ．64

解：原式＝，選B

5．方程的兩個(gè)根可分別作為（　A�。�

Ａ．一橢圓和一雙曲線的離心率              Ｂ．兩拋物線的離心率

Ｃ．一橢圓和一拋物線的離心率              Ｄ．兩橢圓的離心率

解：方程的兩個(gè)根分別為2，，故選A

6．給出下列四個(gè)命題：

①垂直于同一直線的兩條直線互相平行

②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行

③若直線與同一平面所成的角相等，則互相平行

④若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線是異面直線

其中假命題的個(gè)數(shù)是（D　�。�

Ａ．1            Ｂ．2            Ｃ．3            Ｄ．4

解：利用特殊圖形正方體我們不難發(fā)現(xiàn)①、②、③、④均不正確，故選擇答案D。

7．雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是（　A�。�

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ．

解：雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域時(shí)有。

故選A

8．設(shè)是上的一個(gè)運(yùn)算，是的非空子集，若對(duì)任意，有，則稱對(duì)運(yùn)算封閉．下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是（C　�。�

Ａ．自然數(shù)集              Ｂ．整數(shù)集           Ｃ．有理數(shù)集              Ｄ．無理數(shù)集

解：A中1－2＝－1不是自然數(shù)，即自然數(shù)集不滿足條件；B中12＝0.5不是整數(shù)，即整數(shù)集不滿足條件；C中有理數(shù)集滿足條件；D中不是無理數(shù)，即無理數(shù)集不滿足條件，故選擇答案C。

9．的三內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為．設(shè)向量，．若，則角的大小為（　B　）

Ａ．          Ｂ．          Ｃ．          Ｄ．

解：，利用余弦定理可得，即，故選擇答案B。

10．已知等腰的腰為底的2倍，則頂角的正切值是（　D�。�

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．             Ｄ．

解：依題意，結(jié)合圖形可得，故，選D

11．與方程的曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線的方程為（　A�。�

Ａ．            Ｂ．

Ｃ．         Ｄ．

解：，，即：，所以，故選擇答案A。

12．曲線與曲線的（B　�。�

Ａ．離心率相等           Ｂ．焦距相等              Ｃ．焦點(diǎn)相同              Ｄ．準(zhǔn)線相同

解：由知該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，由知該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故只能選擇答案B。

2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）

數(shù)  學(xué)（供文科考生使用）

第II卷（非選擇題，共90分）

13．方程的解為．

解：Û

即解得（負(fù)值舍去）

14．設(shè)則．

解：.

15．如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是．

解：顯然正六棱錐的底面的外接圓是球的一個(gè)大圓，于是可求得底面邊長(zhǎng)為2，又正六棱錐的高依題意可得為2，依此可求得

16．5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員．現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1，2，3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，且1，2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有48種．（以數(shù)作答）

解：兩老一新時(shí), 有種排法;

兩新一老時(shí), 有種排法,即共有48種排法.

17．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，求

（1）函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；

（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

18．（本小題滿分12分）

甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率都為0.6，且參賽同學(xué)的成績(jī)相互之間沒有影響，求：

（1）甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率；

（2）甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率．

19．（本小題滿分12分）

已知正方形，分別是邊的中點(diǎn)，將沿折起，如圖所示，記二面角的大小為（）．

（1）證明平面；

（2）若為正三角形，試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上，證明你的結(jié)論，并求角的余弦值．

20．（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，．

（1）求的值；

（2）若與的等差中項(xiàng)為，滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

21．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，，其中，設(shè)為的極小值點(diǎn)，為的極值點(diǎn)，，并且，將點(diǎn)依次記為．

（1）求的值；

（2）若四邊形為梯形且面積為1，求的值．

22．（本小題滿分14分）

已知點(diǎn)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足，設(shè)圓的方程為．

（1）證明線段是圓的直徑；

（2）當(dāng)圓的圓心到直線的距離的最小值為時(shí)，求的值．

2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）

數(shù)學(xué)(文史類)答案與評(píng)分參考

說明：

（1）D（2）C（3）C（4）B（5）A（6）D

（7）A（8）C（9）B（10）D（11）A（12）B

（13）（14）（15）（16）48

（17）本小題考查三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及已知三角函數(shù)值求角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能力.滿分12分

（I）解法一：

……4分

當(dāng)，即時(shí)，取得最大值

因此，取得最大值的自變量x的集合是.……8分

解法二：

……4分

當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.

因此，取得最大值的自變量x的集合是……8分

（Ⅱ）解：

由題意得，即.

因此，的單調(diào)增區(qū)間是.…………12分

（18）本小題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，滿分12分.

（Ⅰ）解：甲班參賽同學(xué)恰有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率為

乙班參賽同學(xué)中恰有一名同學(xué)成績(jī)及格的概率為

故甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績(jī)幾個(gè)的概率為

…………………………6分

（Ⅱ）解法一：甲、乙兩班4名參賽同學(xué)成績(jī)都不及格的概率為

故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有一名同學(xué)成績(jī)都不及格的概率為

…………………………12分

解法二：甲、乙兩班參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率為

甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有2名同學(xué)成績(jī)及格的概率為

甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有3名同學(xué)成績(jī)及格的概率為

甲、乙兩班4同學(xué)參賽同學(xué)成績(jī)都及格的概率為

故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率為

……………………12分

（19）本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力.滿分12分

（Ⅰ）證明：、分別是正方形的邊、的中點(diǎn).

且

四邊形是平行四邊形

平面而平面

平面

（Ⅱ）解法一：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上，過點(diǎn)用平面垂足為連接

為正三角形

在的垂直平分線上。

又是的垂直平分線

點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上

過作，垂足為，連接則

是二面角的平面角，即

設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為，連接，

在折后圖的中，

為直角三角形，

在中，

解法二：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上，連結(jié)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為

為正三角形，為的中點(diǎn)，

又

平面

平面

又，且，平面，平面，

平面，

為在平面內(nèi)的射影。

點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上

過作，垂足為，連結(jié)，則，

是二面角的平面角，即

設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為。

在折后圖的中，，

為直角三角形，，

，

在中，，

，

解法三：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上連結(jié)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為

為正三角形，為的中點(diǎn)

又

平面，

平面，

平面平面

又平面平面，

平面，即為在平面內(nèi)的射影，

點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上。

過作，垂足為，連結(jié)，則

是二面角的平面角，即

設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為

在折后圖的中，.

為直角三角形，.

.

在中，,

,

,

.????????????12分

(20)本小題考查數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列，對(duì)數(shù)與指數(shù)互相轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)。考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。滿分12分.

(Ⅰ)解法一：當(dāng)時(shí)，,

當(dāng)時(shí),.

是等差數(shù)列,

,

????????????4分

解法二：當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),.

當(dāng)時(shí),.

.

又,

所以,得.????????????4分

(Ⅱ)解：,

.

又,

,

????????????8分

又得.

,,即是等比數(shù)列.

所以數(shù)列的前項(xiàng)和.???????????12分

(21)本小題考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)極值的判定，二次函數(shù)與二次方程等基礎(chǔ)知識(shí)的的綜合運(yùn)用，考查用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題，解決問題的能力.滿分12分.

(Ⅰ)解：,

令，由得或.????????????2分

.

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí),,

所以處取極小值，即......................6分

（II）解：

處取得極小值，即

由即

................9分

由四邊形ABCD是梯形及BC與AD不平行，得.

即

由四邊形ABCD的面積為1，得

即得d＝1，

從而得

......................12分

(22)本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，圓與拋物線的方程，點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問題的能力，滿分14分。

（I）證法一：

即

整理得

......................12分

設(shè)點(diǎn)M（x,y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則

即

展開上式并將①代入得

故線段是圓的直徑。

證法二：

即，

整理得

①……3分

若點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，則

去分母得

點(diǎn)滿足上方程，展開并將①代入得

所以線段是圓的直徑.

證法三：

即，

整理得

以為直徑的圓的方程是

展開，并將①代入得

所以線段是圓的直徑.

（Ⅱ）解法一：設(shè)圓的圓心為，則

，

又

所以圓心的軌跡方程為：

設(shè)圓心到直線的距離為，則

當(dāng)時(shí)，有最小值，由題設(shè)得

……14分

解法二：設(shè)圓的圓心為，則



又

…………9分

所以圓心得軌跡方程為…………11分設(shè)直線與的距離為,則

因?yàn)榕c無公共點(diǎn).

所以當(dāng)與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)到的距離最小，最小值為

將②代入③，有

…………14分

解法三：設(shè)圓的圓心為，則

若圓心到直線的距離為，那么

又

當(dāng)時(shí)，有最小值時(shí)，由題設(shè)得