題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若對任意,,不等式 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中,若對任意不等式恒成立,問題等價于只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是 ......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是 ........4分
(II)若對任意不等式恒成立,
問題等價于, .........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點,這個極小值是唯一的極值點,
故也是最小值點,所以; ............6分
當b<1時,;
當時,;
當b>2時,; ............8分
問題等價于 ........11分
解得b<1 或 或 即,所以實數(shù)b的取值范圍是
已知向量=(),=(,),其中().函數(shù),其圖象的一條對稱軸為.
(I)求函數(shù)的表達式及單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對邊,S為其面積,若=1,b=l,S△ABC=,求a的值.
【解析】第一問利用向量的數(shù)量積公式表示出,然后利用得到,從而得打解析式。第二問中,利用第一問的結(jié)論,表示出A,結(jié)合正弦面積公式和余弦定理求解a的值。
解:因為
由余弦定理得,……11分故
(本小題滿分12分)
已知函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(I)求實數(shù)的值;
(II)求的值及的解析式;
(Ⅲ)設(shè),試證:對任意的且都有
.
(本小題滿分12分)已知函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(I)求實數(shù)的值;
(II)求的值及的解析式;
(Ⅲ)設(shè),試證:對任意的且都有
.
一.選擇題
CADAD CBCAD BB
二.填空題
;61; 4;
三.解答題
17. 解:(I)由得…………………………….2分
即,所以為第一、三象限角
又即,所以,故 ……………..4分
(II)原式…………………………………6分
……..10分
18.解: ……………..2分
……………..4分
,且該區(qū)間關(guān)于對稱的. ……………..6分
又恰好有3個元素,所以. ……………..8分
即, ……………..10分
解之得:. ……………..12分
19. 解:(Ⅰ)∵
, ……………..2分
∴ ,
∴的圖象的對稱中心為, ……………..4分
又已知點為的圖象的一個對稱中心,∴,
而,∴或. ……………..6分
(Ⅱ)若成立,即時,,,…8分
由, ……………..10分
∵ 是的充分條件,∴,解得,
即的取值范圍是. ……………..12分
20.(1) 1分
又當時, 2分
當時,
上式對也成立,
∴,
總之, 5分
(2)將不等式變形并把代入得:
7分
設(shè)
∴
∴
又∵
∴,即. 10分
∴隨的增大而增大,,
∴. 12分
21. 解:(I)即
即………………………………………………..2分
由正弦定理得:
整理得:………………………………………..4分
由余弦定理得:
又…………………………………………………………………………6分
(II)由,即
又……..8分
另一方面…………………...10分
由余弦定理得
當且僅當時取等號,所以的最小值為……………………………………………12分
22. 解:(I)由題意知.
又對,
,即在上恒成立,在上恒成立。所以即.………………………..........3分
,于是
由得或,所以的遞增區(qū)間為………………….4分
(II).
。又在上是增函數(shù),
所以原不等式.
設(shè),只需的最小值不小于.………………………....6分
又.
所以,當時取等號,即,
解得.
又所以只需.
所以存在這樣的值使得不等式成立.………………………………………………………...8分
(III)由變形得
,
令,
要使對任意的,恒有成立,
只需滿足,……………………………………...10分
解得,即.……………………………………………………...12分
備選題:
設(shè)全集,函數(shù)的定義域為A,集合,若恰好有2個元素,求a的取值集合.
18.(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,若,求函數(shù)的值;
(Ⅱ)把函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)是偶函數(shù),寫出最小的向量的坐標.
解:(Ⅰ),
.
(Ⅱ)設(shè),所以,要使是偶函數(shù),
即要,即, ,
當時,最小,此時,, 即向量的坐標為
22.(本小題滿分14分)
已知數(shù)列有,(常數(shù)),對任意的正整數(shù),,并有滿足.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)試確定數(shù)列是否是等差數(shù)列,若是,求出其通項公式,若不是,說明理由;
(Ⅲ)對于數(shù)列,假如存在一個常數(shù)使得對任意的正整數(shù)都有,且,則稱為數(shù)列的“上漸近值”,令,求數(shù)列的“上漸近值”.
解:(Ⅰ),即
(Ⅱ)
∴是一個以為首項,為公差的等差數(shù)列。
(Ⅲ)
∴
又∵,∴數(shù)列的“上漸近值”為。
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