已知函數(shù)f（x）=ln（1+x^x）-ax，其中a＞0
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果a∈（0，1），當a≥0時，不等式f（x）-m＜0的解集為空集，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）當x＞1時，若g（x）=f[ln（x-1）]+aln（x-1），試證明：對n∈N^*，當n≥2時，有．

定義在（0，+∞）的函數(shù)f(x)=

xe-x2+ax，x∈(0，1) 2x-1，x∈[1，+∞)

，其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在點x=1處連續(xù)，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）為（0，1）上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍，并判斷此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是否為單調(diào)函數(shù)；
（3）當x∈（0，1）時，記g（x）=lnf（x）+x²-ax，試證明：對n∈N^*，當n≥2時，有-

n(n-1)

2

≤g(

1

n!

)＜

n

k=1

1

k

-n．