題目列表(包括答案和解析)
若對(duì)任意x∈A,y∈B(AR,BR)有唯一確定的f(x,y)與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)f(x,y)為關(guān)于x,y的二元函數(shù),現(xiàn)定義滿(mǎn)足下列性質(zhì)的f(x,y)為關(guān)于實(shí)數(shù)x,y的廣義“距離”:
(1)非負(fù)性:f(x,y)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)取等號(hào);
(2)對(duì)稱(chēng)性:f(x,y)=f(y,x);
(3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立.給出三個(gè)二元函數(shù):
①f(x,y)=|x-y|;
②f(x,y)=(x-y)2;
③f(x,y)=.
則所有能夠成為關(guān)于x,y的廣義“距離”的序號(hào)為_(kāi)_______.
對(duì)于函數(shù)f(x)(x∈D),若x∈D時(shí),恒有>成立,則稱(chēng)函數(shù)是D上的J函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)函數(shù)f(x)=mlnx是J函數(shù)時(shí),求m的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)為(0,+∞)上的J函數(shù),
試比較g(a)與g(1)的大小;
求證:對(duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)x1,x2,x3, ,xn,均有g(shù)(ln(x1+x2+ +xn))
>g(lnx1)+g(lnx2)+ +g(lnxn).
對(duì)于函數(shù)f(x)(x∈D),若x∈D時(shí),恒有>成立,則稱(chēng)函數(shù)是D上的J函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)函數(shù)f(x)=mlnx是J函數(shù)時(shí),求m的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)為(0,+∞)上的J函數(shù),
①試比較g(a)與g(1)的大;
②求證:對(duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)x1,x2,x3, ,xn,均有g(shù)(ln(x1+x2+ +xn))>g(lnx1)+g(lnx2)+ +g(lnxn).
對(duì)于函數(shù)f(x)(x∈D),若x∈D時(shí),恒有>成立,則稱(chēng)函數(shù)是D上的J函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)函數(shù)f(x)=mlnx是J函數(shù)時(shí),求m的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)為(0,+∞)上的J函數(shù),
試比較g(a)與g(1)的大;
求證:對(duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)x1,x2,x3, ,xn,均有g(shù)(ln(x1+x2+ +xn))
>g(lnx1)+g(lnx2)+ +g(lnxn).
一、選擇題(本大題共12小題,每小題4分,共48分)
1.B 2.A 3.B 4.A 5.D 6.C
7.C 8.A 9.B 10.D 11.D 12.B
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分)
13. 14.增函數(shù)的定義 15.與該平面平行的兩個(gè)平面 16.
三、解答題(本大題共3小題,每小題12分,共36分)
17.(本小題滿(mǎn)分12分)
解:(Ⅰ)由,可得.
由題設(shè)可得 即
解得,.
所以.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)由題意得,
所以.
令,得,.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
解:(Ⅰ),
,
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)根據(jù)計(jì)算結(jié)果,可以歸納出 .
當(dāng)時(shí),,與已知相符,歸納出的公式成立.
假設(shè)當(dāng)()時(shí),公式成立,即,
那么,.
所以,當(dāng)時(shí)公式也成立.
綜上,對(duì)于任何都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
18B. (本小題滿(mǎn)分12分)
解:(Ⅰ),因?yàn)?sub>,
所以,
,解得,
同理.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)根據(jù)計(jì)算結(jié)果,可以歸納出 .
當(dāng)時(shí),,與已知相符,歸納出的公式成立.
假設(shè)當(dāng)()時(shí),公式成立,即.
由可得,.
即 .
所以.
即當(dāng)時(shí)公式也成立.
綜上,對(duì)于任何都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
(Ⅰ)解:的定義域?yàn)?sub>,
的導(dǎo)數(shù).
令,解得;令,解得.
從而在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)時(shí),取得最小值. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6分
(Ⅱ)依題意,得在上恒成立,
即不等式對(duì)于恒成立.
令,
則.
當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>,
故是上的增函數(shù), 所以 的最小值是,
從而的取值范圍是. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
19B. (本小題滿(mǎn)分12分)
解:(Ⅰ)由于
當(dāng)時(shí),,
令,可得.
當(dāng)時(shí),,
可知.
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為. ………………………………………………6分
(Ⅱ)設(shè)
當(dāng)時(shí),,
令,可得,即;
令,可得.
可得為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.
當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),.
可得為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
函數(shù)的最大值為,
要使不等式對(duì)一切恒成立,
即對(duì)一切恒成立,
又,
可得的取值范圍為. ………………………………………………12分
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