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題目列表(包括答案和解析)

(必做題)先閱讀:如圖,設(shè)梯形ABCD的上、下底邊的長分別是a,b(a<b),高為h,求梯形的面積.
方法一:延長DA、CB交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作CD的垂線分別交AB、CD于E、F,則EF=h.
設(shè)OE=x,∵△OAB∽△ODC,∴
x
x+h
=
a
b
,即x=
ah
b-a

∴S梯形ABCD=S△ODC-S△OAB=
1
2
b(x+h)-
1
2
ax=
1
2
(b-a)x+
1
2
bh=
1
2
(a+b)h.
方法二:作AB的平行線MN分別交AD、BC于MN,過點(diǎn)A作BC的平行線AQ分別于MN、DC于PQ,則△AMP∽△ADQ.
設(shè)梯形AMNB的高為x,MN=y,
x
h
=
y-a
b-a
⇒y=a+
b-a
h
x,∴S梯形ABCD=
h
0
(a+
b-a
h
x)dx=(ax+
b-a
2h
x2
|
h
0
=ah+
b-a
2h
•h2=
1
2
(a+b)h.
再解下面的問題:
已知四棱臺ABCD-A′B′C′D′的上、下底面的面積分別是S1,S2(S1<S2),棱臺的高為h,類比以上兩種方法,分別求出棱臺的體積(棱錐的體積=
1
3
×底面積×高).

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下列命題中正確的是(   

A.若兩條直線都垂直于第三條直線,則這兩條直線一定平行;

B.若兩條直線和第三條直線成等角,則這兩條直線平行;

C.與兩條異面直線都垂直的直線,叫做異面直線的公垂線;

D.一直線與兩平行線中的一條垂直,則必與另一條也垂直.

 

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下列命題中正確的是(   

A.若兩條直線都垂直于第三條直線,則這兩條直線一定平行;

B.若兩條直線和第三條直線成等角,則這兩條直線平行;

C.與兩條異面直線都垂直的直線,叫做異面直線的公垂線;

D.一直線與兩平行線中的一條垂直,則必與另一條也垂直.

 

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小明做了兩道題,事件A為“做對第一個”,事件B為“做對第二個”,其中“做對第一個”與“做對第二個”的概率都是,下列說法正確的是( 。

    A.小明做對其中一個的概率為

    B.事件A與事件B為互斥事件

    C.A∩B={兩個題都做對}

    D.事件A與事件B必然要發(fā)生一個

     

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為了解某中學(xué)生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況,調(diào)查部門在該校進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查,向被調(diào)查者提出兩個問題:(1)你的學(xué)號是奇數(shù)嗎?(2)在過路口時你是否闖過紅燈?要求被調(diào)查者背對著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣,如果出現(xiàn)正面,就回答第一個問題,否則就回答第二個問題.被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個問題,只需回答“是”或“不是”,因?yàn)橹挥姓{(diào)查者本人知道回答了哪一個問題,所以都如實(shí)地做了回答.結(jié)果被調(diào)查的800人(學(xué)號從1至800)中有240人回答了“是”.由此可以估計(jì)這800人中闖過紅燈的人數(shù)是( 。

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說明:1.參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與參考答案不同,可根據(jù)試題主要考查的知識點(diǎn)和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù).

      2.對解答題中的計(jì)算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的得分,但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤,就不再給分.

      3.解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題和填空題不給中間分.

 

一、選擇題:本大題考查基本知識和基本運(yùn)算.共8小題,每小題5分,滿分40分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

B

C

B

A

D

D

 

二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,滿分30分.其中13~15題是選做題,考生只能選做二題,三題全答的,只計(jì)算前二題得分.第12題第1個空3分,第2個空2分.

9.2          10.79         11.0 或 2       12.16,

13.1         14.3          15.6

三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16.(本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及運(yùn)算求解能力)

解:(1)

                 .                

∴函數(shù)的值域?yàn)?sub>.                                     

(2)∵,,∴

都為銳角,∴,

                    

                  

           

的值為.                                      

 

17.(本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等基本知識,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)

解:(1)設(shè),∵幾何體的體積為,

,                      

,

,解得

的長為4.                                           

(2)在線段上存在點(diǎn),使直線垂直.     

以下給出兩種證明方法:

方法1:過點(diǎn)的垂線交于點(diǎn),過點(diǎn) 

于點(diǎn)

,,,

平面

平面,∴

,∴平面

平面,∴.      

在矩形中,∵,

,即,∴

,∴,即,∴

中,∵,∴

由余弦定理,得

∴在線段上存在點(diǎn),使直線垂直,且線段的長為

方法2:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,所在的直線為軸,軸,軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,由已知條件與(1)可知,,,  

假設(shè)在線段上存在點(diǎn)≤2,,0≤

使直線垂直,過點(diǎn)于點(diǎn)

 

,得,

,∴

,∴.       

此時點(diǎn)的坐標(biāo)為,在線段上.

,∴

∴在線段上存在點(diǎn),使直線垂直,且線段的長為

18.(本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)

解:設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,

,,成等差數(shù)列,

,,∴

解得.             

當(dāng)時,∵,,         

∴當(dāng)時,,,不成等差數(shù)列.

當(dāng)時,,成等差數(shù)列.下面給出兩種證明方法.

證法1:∵

                            

                            

∴當(dāng)時,,成等差數(shù)列.

證法2:∵,          

              , 

∴當(dāng)時,,成等差數(shù)列. 

19.(本小題主要考查等可能事件、互斥事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等基礎(chǔ)知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)

解:(1)∵一次摸球從個球中任選兩個,有種選法,                         

任何一個球被選出都是等可能的,其中兩球顏色相同有種選法,

∴一次摸球中獎的概率.             

(2)若,則一次摸球中獎的概率,                  

三次摸球是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),三次摸球恰有一次中獎的概率是

.                                    

(3)設(shè)一次摸球中獎的概率為,則三次摸球恰有一次中獎的概率為,

,

上為增函數(shù),在上為減函數(shù).              

∴當(dāng)時,取得最大值.

解得

故當(dāng)時,三次摸球恰有一次中獎的概率最大.                 

 

20.(本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)

(1)解法1:∵,其定義域?yàn)?sub>,  

.                

是函數(shù)的極值點(diǎn),∴,即.                                         

,∴.                                               

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時,是函數(shù)的極值點(diǎn),

.                                             

解法2:∵,其定義域?yàn)?sub>,

.               

,即,整理,得

的兩個實(shí)根(舍去),

當(dāng)變化時,,的變化情況如下表:

0

極小值

依題意,,即,

,∴.                           

(2)解:對任意的都有成立等價于對任意的都有.                       

當(dāng)[1,]時,

同步練習(xí)冊答案