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已知四棱錐（如圖）底面是邊長(zhǎng)為2的正方形.側(cè)棱底面，、分別為、的中點(diǎn)，于。
（Ⅰ）求證：平面⊥平面；
（Ⅱ）直線與平面所成角的正弦值為，求PA的長(zhǎng)；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，求二面角的余弦值。

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已知四棱錐P-ABCD的直觀圖（如圖1）及左視圖（如圖2），底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）求異面直線PD與AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大�。�

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一、選擇題（8小題，每題5分，共40分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

B

B

A

C

D

B

A

D

二、填空題（6小題，每題5分，共30分）

11． 5 ；    12．       13．15 ； 15         14。2；   15．

三、解答題（6小題，共80分）

16．解：（1）

----------------5分

    因?yàn)樽钚≌�周期�?sub>，∴        ，∴；----------6分

（2）由（1）知                   ，

因?yàn)?sub>，∴-------------------8分

因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/667d7a5cb647f84a4c5d5bbfc63676df.zip/65334/東中分校2009屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文科試題.files/image239.gif" >             ，∴                   

所以或----------------10分

     所以         或       .------------------12分

17．解：（1）已知函數(shù)，       _------2分   

又函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，且函數(shù)在處取得極值，，且，解得

，且   --------------5分     

令，        

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為  -----------------8分           

（2）當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)在上是減函數(shù)

在上恒成立，   --------------10分 

即在上恒成立。----------------12分

18．解：(1)

分組

頻數(shù)

頻率

50.5~60.5

4

0.08

60.5~70.5

8

0.16

70.5~80.5

10

0.20

80.5~90.5

16

0.32

90.5~100.5

12

0.24

合計(jì)

50

1.00

---------------------4分

(2) 頻數(shù)直方圖如右上所示--------------------------------8分

(3) 成績(jī)?cè)?5.5~80.5分的學(xué)生占70.5~80.5分的學(xué)生的，因?yàn)槌煽?jī)?cè)?0.5~80.5分的學(xué)生頻率為0.2 ，所以成績(jī)?cè)?6.5~80.5分的學(xué)生頻率為0.1 ，---------10分

成績(jī)?cè)?0.5~85.5分的學(xué)生占80.5~90.5分的學(xué)生的，因?yàn)槌煽?jī)?cè)?0.5~90.5分的學(xué)生頻率為0.32 ，所以成績(jī)?cè)?0.5~85.5分的學(xué)生頻率為0.16  -------------12分

所以成績(jī)?cè)?6.5~85.5分的學(xué)生頻率為0.26，

由于有900名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽，

所以該校獲得二等獎(jiǎng)的學(xué)生約為0.26´900=234（人）    -------------14分

19．解（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD

∴MN⊥PA   又MN⊥AD   且PA∩AD=A

∴MN⊥平面PAD  ………………3分

MN平面PMN   ∴平面PMN⊥平面PAD  …………4分

（Ⅱ）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA=A   ∴BC⊥平面PBA

∴∠BPC為直線PC與平面PBA所成的角  即…………7分

在Rt△PBC中，PC=BC/sin∠BPC=

∴  ………………10分

（Ⅲ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知   PM⊥MN   MQ⊥MN

∴∠PMQ即為二面角P―MN―Q的平面角  …………12分

而      ∴   …………14分

20．（14分）

解（1），動(dòng)圓的半徑為r，則|PQ₁|=r+3，

|PQ₂|= r+1，|PQ₁|－|PQ₂|=2，…………………3分

點(diǎn)P的軌跡是以O₁、O₂為焦點(diǎn)的雙曲線右支，a=1，c=2，

方程為………………………………………………6分

   （2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），當(dāng)k不存在時(shí)，不合題意.

       直線PQ的方程為y=k（x－3），

則

       ………………8分

       由

       、

       …………………………………………………………10分

       …………14分

21.  (1)設(shè)_{----------------3}

,又

_{---------------------------------5}

(2)由已知得

兩式相減得,_{-------------------------7}

當(dāng).若

_{-------------------------------9}分

(3) 由,

.-----------------------------------11分

若

_{------------------------------13}

可知,_{-------------------------------14}. 分