[例3]設(shè)若.問是否存在使得?說(shuō)明理由. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知中,,.設(shè),記.

(1)   求的解析式及定義域;

(2)設(shè),是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236439995110628_ST.files/image010.png">?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】第一問利用(1)如圖,在中,由,,

可得

又AC=2,故由正弦定理得

 

(2)中

可得.顯然,,則

1當(dāng)m>0的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236439995110628_ST.files/image021.png">m+1=3/2,n=1/2

2當(dāng)m<0,不滿足的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236439995110628_ST.files/image021.png">;

因而存在實(shí)數(shù)m=1/2的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236439995110628_ST.files/image021.png">.

 

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已知是公差為d的等差數(shù)列,是公比為q的等比數(shù)列

(Ⅰ)若 ,是否存在,有?請(qǐng)說(shuō)明理由;

(Ⅱ)若(a、q為常數(shù),且aq0)對(duì)任意m存在k,有,試求a、q滿足的充要條件;

(Ⅲ)若試確定所有的p,使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和式數(shù)列中的一項(xiàng),請(qǐng)證明.

【解析】第一問中,由,整理后,可得、,為整數(shù)不存在,使等式成立。

(2)中當(dāng)時(shí),則

,其中是大于等于的整數(shù)

反之當(dāng)時(shí),其中是大于等于的整數(shù),則

顯然,其中

滿足的充要條件是,其中是大于等于的整數(shù)

(3)中設(shè)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式不成立。由式得,整理

當(dāng)時(shí),符合題意。當(dāng)為奇數(shù)時(shí),

結(jié)合二項(xiàng)式定理得到結(jié)論。

解(1)由,整理后,可得、,為整數(shù)不存在,使等式成立。

(2)當(dāng)時(shí),則,其中是大于等于的整數(shù)反之當(dāng)時(shí),其中是大于等于的整數(shù),則,

顯然,其中

、滿足的充要條件是,其中是大于等于的整數(shù)

(3)設(shè)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式不成立。由式得,整理

當(dāng)時(shí),符合題意。當(dāng),為奇數(shù)時(shí),

   由,得

當(dāng)為奇數(shù)時(shí),此時(shí),一定有使上式一定成立。當(dāng)為奇數(shù)時(shí),命題都成立

 

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已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值; 

(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

(Ⅲ)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?說(shuō)明理由.

【解析】第一問當(dāng)時(shí),,則。

依題意得:,即    解得

第二問當(dāng)時(shí),,令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè),則,顯然

是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

若方程(*)無(wú)解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則。

依題意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①當(dāng)時(shí),,令

當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:

0

0

+

0

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

,!上的最大值為2.

②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0;

當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞增!最大值為

綜上,當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為2;

當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為

(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè),則,顯然

是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

若方程(*)無(wú)解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

,則代入(*)式得:

,而此方程無(wú)解,因此。此時(shí),

代入(*)式得:    即   (**)

 ,則

上單調(diào)遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對(duì)于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

因此,對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

 

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【理科】已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
,且與橢圓
x2
25
+
y2
13
=1
有共同的焦點(diǎn).
(1)求此雙曲線的方程;
(2)設(shè)直線:y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),試問:是否存在實(shí)數(shù)k,使得以弦AB為直徑的圓過點(diǎn)O?若存在,求出k的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列,且滿足.

(1)   求常數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)   若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、……、第項(xiàng)、……,余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成一個(gè)新的數(shù)列,試寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(3) 在(2)的條件下,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在正整數(shù),使得?若存在,試求所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】第一問中解:由,,

又因?yàn)榇嬖诔?shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列,

,所以p=1

故數(shù)列為首項(xiàng)是2,公比為2的等比數(shù)列,即.

此時(shí)也滿足,則所求常數(shù)的值為1且

第二問中,解:由等比數(shù)列的性質(zhì)得:

(i)當(dāng)時(shí),

(ii) 當(dāng)時(shí),,

所以

第三問假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件,則

則(i)當(dāng)時(shí),

,

 

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