20090505
7. 提示: 當(dāng)x>0時(shí),的圖像相同,故可排除(A)、(C)、(D).故選B
8.令=5,得3n=5r+10 , 當(dāng)r=1時(shí),n=5.故選C
9. 提示由,得,所以, 點(diǎn)P的軌跡是圓(除去與直線AB的交點(diǎn)).故選B
10.如圖, 由橢圓及第一定義可得,△ABF的周長(zhǎng)為AB+
AF+BF=AB+2a-AF1+BF=4+(AB-AF1)+BF≤4+BF1+
BF=4+4=8.當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)A、F1、B共線時(shí),不等式取
等號(hào),故選B.
11.提示: 易知數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列,a1=2, a2= , a3= , a4 =2,
故 a2009=2故選B
12.提示: ∵f ′(x)=g′(x), ∴f(x),g(x)可以是同一函數(shù),或者僅是常數(shù)項(xiàng)不同的兩個(gè)函數(shù), 而得
f(x)-g(x)是常數(shù)函數(shù), 即B為最佳答案,故選B.
二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.9;提示: Tr+1=(x)n-r(-)r,由題意知:-+=27n=9
∴展開(kāi)式共有10項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)或第六項(xiàng),故項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)。
14. ;矩形;若 則以 為鄰邊的平行四邊形對(duì)角線相等,所以此四邊形必為矩形,可見(jiàn)的夾角為
15. ;提示: P=1-=
16.提示:當(dāng)直角三角形的斜邊垂直與平面時(shí),所求面積最大。
三、解答題:(本大題共6小題,共70分)
17.(本大題10分)(1)不是,假設(shè)是在上的生成函數(shù),則存在正實(shí)數(shù)使得恒成立,令,得,與矛盾,
所以函數(shù)一定不是在上的生成函數(shù)…………5分
(2)設(shè),因?yàn)?
所以,當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立,
即時(shí)
而,
,
………………………10分
18.(Ⅰ)連接A1C.
∵A1B1C1-ABC為直三棱柱,
∴CC1⊥底面ABC,
∴CC1⊥BC.
∵AC⊥CB,
∴BC⊥平面A1C1CA. ……………1分
∴為與平面A1C1CA所成角,
.
∴與平面A1C1CA所成角為.…………4分
(Ⅱ)分別延長(zhǎng)AC,A1D交于G. 過(guò)C作CM⊥A1G 于M,連結(jié)BM,
∵BC⊥平面ACC1A1,
∴CM為BM在平面A1C1CA內(nèi)的射影,
∴BM⊥A1G,
∴∠CMB為二面角B―A1D―A的平面角,
平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D為C1C的中點(diǎn),
∴CG=2,DC=1
在直角三角形CDG中,
,.
即二面角B―A1D―A的大小為.……………………8分
(Ⅲ)取線段AC的中點(diǎn)F,則EF⊥平面A1BD.
證明如下:
∵A1B1C1―ABC為直三棱柱,
∴B1C1//BC,
∵由(Ⅰ)BC⊥平面A1C1CA,
∴B1C1⊥平面A1C1CA,
∵EF在平面A1C1CA內(nèi)的射影為C1F,
當(dāng)F為AC的中點(diǎn)時(shí),
C1F⊥A1D,∴EF⊥A1D.
同理可證EF⊥BD,
∴EF⊥平面A1BD.……………………12分
19.解:(1)從這5名學(xué)生中選出2名學(xué)生的方法共有種所選2人的血型為O型或A型的的情況共有種故所求概率為 ?…………6分
(2) 至少有2名學(xué)生符合獻(xiàn)血條件的對(duì)立事件是至多1人符合獻(xiàn)血條件
則所求概率為 …………12分
20.解:(Ⅰ) 設(shè)C(x, y),
∵ , ,
∴ ,
∴ 由定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).
∴ .
∴ .
∴ W: .………………… 2分
(Ⅱ) 設(shè)直線l的方程為,
代入橢圓方程,得.
整理,得.
①………………………… 5分
因?yàn)橹本l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于
,
解得或.
∴ 滿足條件的k的取值范圍為 ………… 7分
(Ⅲ)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則=(x1+x2,y1+y2),
由①得.
②
又
③
因?yàn)?sub>,,
所以.……………………… 11分
所以與共線等價(jià)于.
將②③代入上式,
解得.
所以不存在常數(shù)k,使得向量與共線.…………………… 12分
21.(本大題12分)
(1)n=1時(shí),a1=-4
∴
∴數(shù)列{an-4}為等比數(shù)列,公比為2,首項(xiàng)為a1-4=-8
…………5分
∴
∴ …………7分
(2)
…………10分
相減得:
………………12分
22.解: 解:∵f′(x)=4a0x3+3a1x2+2a2x+a3為偶函數(shù)。
∴a0=a2=0,
∴f(x)=a1x3+a3x
又當(dāng)x=-時(shí),f(x)取得極大值…………2分
∴ 解得
∴f(x)=x3-x,f′(x)=2x2-1………………4分
⑵解:設(shè)所求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2,
則(2x12-1)(2x22-1)=-1
又∵x1,x2∈[-1,1],
∴2x12-1∈[-1,1],2x22-1∈[-1,1]
∴2x12-1,2x22-1中有一個(gè)為1,一個(gè)為-1,………………5分
∴x1=0,x2=±1,
∴所求的兩點(diǎn)為(0,0)與(1,-)或(0,0)與(-1,)!8分
⑶證明:易知sinx∈[-1,1],cosx∈[-1,1]。
當(dāng)0<x<時(shí),f′(x)<0;當(dāng)<x<1時(shí),f′(x)>0。
∴f(x)在[0,]為減函數(shù),在[,1]上為增函數(shù),
又f(0)=0,f()=- ,f(1)=-,
而f(x)在[-1,1]上為奇函數(shù),
∴f(x)在[-1,1]上最大值為,最小值為-,
∴f(sinx)∈[-,],f(cosx)∈[-,],………………10分
∴|f(sinx)-f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤………………………………12分