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題目列表(包括答案和解析)

(選修4-2:矩陣與變換)在軍事密碼學(xué)中,發(fā)送密碼時,先將英文字母數(shù)學(xué)化,對應(yīng)如下表:
a b c d z
1 2 3 4 26
如果已發(fā)現(xiàn)發(fā)送方傳出的密碼矩陣為
1441
32101
,雙方約定可逆矩陣為
12
34
,試破解發(fā)送的密碼.

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(1)選修4-2:矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ1=2,λ2=-1,它們所對應(yīng)的特征向量分別為e1=
1
0
e2=
0
1

(I)求矩陣A;
(II)求曲線x2+y2=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程.
(2)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C1的參數(shù)方程為
x=2sinθ
y=cosθ
為參數(shù)),C2的參數(shù)方程為
x=2t
y=t+1
(t
為參數(shù))
(I)若將曲線C1與C2上所有點的橫坐標都縮短為原來的一半(縱坐標不變),分別得到曲線C′1和C′2,求出曲線C′1和C′2的普通方程;
(II)以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,求過極點且與C′2垂直的直線的極坐標方程.
(3)選修4-5:不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R,
(I)求關(guān)于x的不等式f(x)≤5的解集;
(II)若g(x)=
1
f(x)+m
的定義域為R,求實數(shù)m的取值范圍.

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(1)選修4-2:矩陣與變換
二階矩陣M對應(yīng)的變換將點(1,-1)與(-2,1)分別變換成點(-1,-1)與(0,-2).
(Ⅰ)求矩陣M的逆矩陣M-1;
(Ⅱ)設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m:2x-y=4,求l的方程.
(2)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知直線的極坐標方程為ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
,圓M的參數(shù)方程為
x=2cosθ
y=-2+2sinθ
(其中θ為參數(shù)).
(Ⅰ)將直線的極坐標方程化為直角坐標方程;
(Ⅱ)求圓M上的點到直線的距離的最小值.
(3)選修4一5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+3|.
(Ⅰ)求x的取值范圍,使f(x)為常數(shù)函數(shù);
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)-a≤0有解,求實數(shù)a的取值范圍.

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選修4-2:矩陣及其變換
(1)如圖,向量
OA
OB
被矩陣M作用后分別變成
OA′
OB′

(Ⅰ)求矩陣M;
(Ⅱ)并求y=sin(x+
π
3
)
在M作用后的函數(shù)解析式;
選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
( 2)在直角坐標系x0y中,直線l的參數(shù)方程為
x=3-
2
2
t
y=
5
+
2
2
t
(t為參數(shù)),在極坐標系(與直角坐標系x0y取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=2
5
sinθ

(Ⅰ)求圓C的直角坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)圓C與直線l交于點A,B.若點P的坐標為(3,
5
),求|PA|+|PB|.
選修4-5:不等式選講
(3)已知x,y,z為正實數(shù),且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1
,求x+4y+9z的最小值及取得最小值時x,y,z的值.

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(2011•江蘇二模)選答題:本大題共四小題,請從這4題中選作2小題,如果多做,則按所做的前兩題記分.每小題10分,共20分,解答時應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
A、選修4-1:
幾何證明選講.如圖,圓O的直徑AB=4,C為圓周上一點,BC=2,過C作圓O的切線l,過A作l的垂線AD,AD分別與直線l、圓O交于點D,E,求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長.
B、選修4-2:矩陣變換
求圓C:x2+y2=4在矩陣A=[
20
01
]的變換作用下的曲線方程.
C、選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
若兩條曲線的極坐標方程分別為ρ=1與ρ=2sinθ,它們相交于A、B兩點,求線段AB的長.
D、選修4-5:不等式選講
已知a、b、c為正數(shù),且滿足acos2θ+bsin2θ<c.求證:
a
cos2θ+
b
sin2θ<
c

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