題目列表(包括答案和解析)
已知是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,是等比數(shù)列,且,.
(Ⅰ)求數(shù)列與的通項公式;
(Ⅱ)記,,證明().
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q.
由,得,,.
由條件,得方程組,解得
所以,,.
(2)證明:(方法一)
由(1)得
①
②
由②-①得
而
故,
(方法二:數(shù)學歸納法)
① 當n=1時,,,故等式成立.
② 假設(shè)當n=k時等式成立,即,則當n=k+1時,有:
即,因此n=k+1時等式也成立
由①和②,可知對任意,成立.
已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實數(shù)的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為,
由題意可知,即,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于,利用當時,;當時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價于,
當時,;當時,;
而,所以猜想,的最小值為. …………8分
下證不等式對任意恒成立.
方法一:數(shù)學歸納法.
當時,,成立.
假設(shè)當時,不等式成立,
當時,, …………10分
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分
方法二:單調(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項公式, …………10分
, …………12分
所以對,都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以恒成立,
故的最小值為.
(14分)從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高,測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于155cm和195cm之間,將測量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組、第二組;…第八組,右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分,已知第一組與第八組人數(shù)相同,第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)估計這所學校高三年級全體男生身高180cm以上(含180cm)的人數(shù);
(2)求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖;
(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生,記他們的身高分別為,求滿足的事件概率.
從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50人測量身高,據(jù)測量,被測同學身高全部介于155至195之間,將測量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組;第二組;…;第八組.如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分,已知第一組與第八組人數(shù)相同,第六組、第七組、第八組人數(shù)依次成等差數(shù)列.
(1)估計這所學校高三年級全體男生身高在180以上(含180)的人數(shù);
(2)求第六組、第七組的頻率并將頻率分布直方圖補充完整;
(3)計算該校男生的平均身高;
(4)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取2人,記他們的身高分別為,求滿足的事件的概率.
從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50人測量身高,據(jù)測量,被測同學身高全部介于155至195之間,將測量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組;第二組;…;第八組.如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分,已知第一組與第八組人數(shù)相同,第六組、第七組、第八組人數(shù)依次成等差數(shù)列.
(1)估計這所學校高三年級全體男生身高在180以上(含180)的人數(shù);
(2)求第六組、第七組的頻率并將頻率分布直方圖補充完整;
(3)計算該校男生的平均身高;
(4)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取2人,記他們的身高分別為,求滿足的事件的概率.
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