題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分10分)
已知函數(shù)滿足
(1)求的解析式,并判斷在上的單調(diào)性(不須證明);
(2)對定義在上的函數(shù),若,求的取值范圍;
(3)當時,關于的不等式恒成立,求的取值范圍.
設是定義在[-1,1]上的偶函數(shù),的圖象與的圖象關于直線對稱,且當x∈[ 2,3 ] 時,.
(1)求的解析式;
(2)若在上為增函數(shù),求的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù),使的圖象的最高點落在直線上?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
已知函數(shù)的圖象在軸上的截距為1,它在軸右側(cè)的第一個最大值點和最小值點分別為和.
(1)試求的解析式;
(2)將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),然后再將新的圖象向軸正方向平移個單位,得到函數(shù)的圖象.求出函數(shù)的解析式。
若向量,其中,設函數(shù),其周期為,且是它的一條對稱軸。
(1) 求的解析式;
(2) 當時,不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍。
(本小題滿分13分)
已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時,
(其中e是自然對數(shù)的底, )
(1)求的解析式;
(2)設,求證:當時,;
(3)是否存在實數(shù)a,使得當時,的最小值是3 ?如果存在,求出實數(shù)a的值;如果不存在,請說明理由。
1.解析:答案A.集合P表示正方形,集合Q表示圓面,作出它們的圖形即可.
評析:利用二個集合間的幾何意義借助數(shù)形結(jié)合思想,是本題考察的重點.
2.解析:.
答案:A.
評析:本題是考察二項式展開式的應用,難點是項數(shù)的舍棄.
3.解析:f(x)的圖象向右平移個單位,得sin[(x-)+]=sinx,又g(x)=cos(x-=cos(-x)=sinx.答案:D.
評析:本題是考察三角函數(shù)的等價變換與圖象的平移.
4.答案A.解析:將三種抽樣法的有關計算公式計算所得的概率都是,故選A.
(文)A .當函數(shù)的圖像左右平移時,不改變函數(shù)的值域.
5.解析:.∵可視為曲線上兩點、的斜率,作圖易得.選C.
評析:本題是考察轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的思想,解題的關鍵是將函數(shù)與不等式問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題.
6.解析:取△ABC為正三角形易得=3.選B.
評析:本題考查向量的有關知識,如果按常規(guī)方法就比較難處理,但是用特殊值的思想就比較容易處理,考查學生靈活處理問題的能力.
7.解析:易知,且當x∈時,為增函數(shù).又由,得,故 |,于是.選B.
評析:本題考查運用奇函數(shù)、偶函數(shù)與增函數(shù)的概念與性質(zhì)解決問題.
8.解析:顯然S1是正確的.假設后三個數(shù)均未算錯,則a1=8,a2=12,a3=16,a4=29,可知a22≠a
評析:本題考查等比數(shù)列的基本概念與性質(zhì)和學生推理的能力.
9.解析:答 由的圖象及的意義知,在x>0時,為單調(diào)遞增函數(shù)且<0;在x<0時,為單調(diào)遞減函數(shù)且<0.選D.
評析:本題考查學生靈活運用導數(shù)知識與觀察問題的能力.
10.解析:答⑴靜放在點的小球(小球的半徑不計)從點沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁右頂點反彈后第一次回到點時,小球經(jīng)過的路程是,則選B;⑵靜放在點的小球(小球的半徑不計)從點沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁左頂點反彈后第一次回到點時,小球經(jīng)過的路程是,則選C;⑶靜放在點的小球(小球的半徑不計)從點沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁非左右頂點反彈后第一次回到點時,小球經(jīng)過的路程是,則選A.
于是三種情況均有可能,故選D.
評析:本題考察學生是否掌握光學的有關性質(zhì)與解幾相關的性質(zhì)以及分類討論的重要思想方法.
11.分析:解決數(shù)學問題的思維過程,一般總是從正面入手,即從已知條件出發(fā),經(jīng)過一系列的推理和運算,最后得到所要求的結(jié)論,但有時會遇到從正面不易入手的情況,這時可從反面去考慮.從反面考慮問題在集合中的運用主要就是運用補集思想.本題若直接求解,情形較復雜,也不容易得到正確結(jié)果,若我們先考慮其反面,再求其補集,就比較容易得到正確的解答.
解:由題知可解得A={y|y>a2+1或y<a}, B={y|2≤y≤4},我們不妨先考慮當A∩B=φ時a的范圍.如圖
由,得
∴或.
即A∩B=φ時a的范圍為或.而A∩B≠φ時a的范圍顯然是其補集,從而所求范圍為.
評注:一般地,我們在解時,若正面情形較為復雜,我們就可以先考慮其反面,再利用其補集,求得其解,這就是“補集思想”.
解析:答:39.每個三棱錐中有三對異面直線,則異面直線的對數(shù)是3(C46-2)=39.
12.評析:本題把排列組合和立體幾何掛起鉤來,考生則必須對立體幾何的有關知識有所了解和掌握.
13.解析:答 由,即 ,得.
,.故=4.
評析:本題采用基本量法來作,但顯然運算量會大上許多,本題可用特殊法處理.
14.解析:.設長分割成x列,寬分割成y行,共分割成z塊,
則
z=x?y
當x=39,y=18時,.
評析:本題主要考查線性規(guī)劃知識以及利用數(shù)形結(jié)合法解決問題,特別是已知區(qū)域求最優(yōu)解是學生易錯的地方.
15.解析:本題為開放題,只要寫出一個正確的即可,如(2,1,-3,2).
評析:本題為開放題,考察學生對知識靈活處理問題的能力.
16.解析:
…………………………
當>0時,,
解得,………………………………………………………………
從而, ,
T=,最大值為5,最小值為-5;………………………………………………
當m<0時, 解得,………………………………………………
從而,,T=,最大值為,
最小值為.……………………………………………………………………
評析:本題考查三角函數(shù)的運算.考查的知識點有和差化積、周期與三角函數(shù)
值域的求法、分類討論的思想方法.近幾年三角運算一直是考試所要求的基本題型之一,本題就是基于這一要求而制定的.
17.解析:(1) 由題意可知 x甲 ~ B(5, p1),
∴ Dx甲 = 5p1 (1-p1) = Þ p12-p1 + = 0 Þ p1 = .2分;又 ?= 6,∴ p2 = . 3分
(2) 兩類情況:共擊中3次概率
C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 1 ( ) 1 + C ( ) 1 ( ) 1×C ( ) 2 ( ) 0 = ;
共擊中4次概率C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 2 ( ) 0 = . 6分
所求概率為 + = . 8分
(3) 設事件A, B分別表示甲、乙能擊中.∵ A, B互相獨立(9分),∴ P(`A?`B ) = P(`A ) P(`B ) = (1-P(A) )(1-P(B) ) = (1-p1)(1-p2) = ×= (11分),∴ 1-P(`A?`B ) = 為所求概率. 12分
評析:這一類型的試題在連續(xù)幾年的新課程卷都出現(xiàn)了,重點考查了分類討論的數(shù)學思想,體現(xiàn)了《考試說明》所要求的創(chuàng)新意識和實踐能力以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.該題仍然是常規(guī)題,要求考生耐心細致,審題能力較強,并善于利用材料進行分析說明.
18.方法一:(I)證明:,又平面平面ABCD,平面平面ABCD=BC,平面ABCD ……2分
在梯形ABCD中,可得
,即
在平面ABCD內(nèi)的射影為AO, ……4分
(II)解:,且平面平面ABCD
平面PBC, 平面PBC,
為二面角P―DC―B的平面角 ……6分
是等邊三角形即二面角P―DC―B的大小為 …8分
(III)證明:取PB的中點N,連結(jié)CN, ①
,且平面平面ABCD,平面PBC ……10分
平面PAB 平面平面PAB ②
由①、②知平面PAB…………..10分
連結(jié)DM、MN,則由MN//AB//CD,,
得四邊形MNCD為平行四邊形,,平面PAB.
平面PAD 平面平面PAB ……………….12分
方法二:取BC的中點O,因為是等邊三角形,
由側(cè)面底面ABCD 得底面ABCD ……1分
以BC中點O為原點,以BC所在直線為x軸,過點O與AB平行的直線為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系O―xyz……2分
(I)證明:,則在直角梯形中,
在等邊三角形PBC中,……3分
,即…4分
(II)解:取PC中點N,則
平面PDC,顯然,且平面ABCD
所夾角等于所求二面角的平面角 ……6分
,二面角的大小為 ……8分
(III)證明:取PA的中點M,連結(jié)DM,則M的坐標為
又 ……10分
,
即
平面PAB,平面平面PAB ……12分
評析:本題考察的空間中的線線關系、面面關系以及二面角的求法關系是立體幾
何中的最主要關系,熟悉它們的判定和性質(zhì)是高考復習的重點,本題重在考查學生的運算能力、空間想象能力.
19.解(1)∵,,∴,.
∵=0,∴(
(2)由(1)知,雙曲線的方程可設為,漸近線方程為.…5分
設P1(x1,2x1),P2(x2,-2x2),P(x,y).
∵,∴. ∵,∴………8分
∵點P在雙曲線上,∴.
化簡得,.∴.∴ .∴雙曲線的方程為…12分
評析:本題考查向量與雙曲線的有關內(nèi)容.近幾年來向量與其他知識互相滲透成為一種時尚,基于此特命此題.本題考查學生運用圓錐曲線定義靈活解題的能力、向量知識、運算能力.
當時, ①
②
由①-②得, ………(3分)
∵∴即∴適合上式,
(2)由(1)知, ③
當時, ④
由③-④得,……(8分)
∵, ∴, 數(shù)列是等差數(shù)列,首項為1,公差為1, 可得 …(10分)
(3) ∵, ∴………(11分)
∴,
∴⑤………(12分)
當時, ⑤式即為⑥
依題意, ⑥式對都成立, 當時,
⑤式即為 ⑦依題意, ⑦式對都成立,
∴………(13分) ∴又,
∴存在整數(shù), 使得對任意, 都有 ………(13分)
21.解:(1)當x∈[-1,0]時,2-x∈[2,3],f(x)=g(2-x)= -2ax+4x3;當x∈時,f(x)=f(-x)=2ax-4x3,
∴………………………………………4分
(2)由題設知,>0對x∈恒成立,即
(3)因f(x)為偶函數(shù),故只需研究函數(shù)f(x)=2ax-4x3在x∈的最大值.
令=
,
故此時不存在符合題意的;
若>1,即a>6,則在上為增函數(shù),于是.
令
評析:本題通過函數(shù)的知識來切入到導數(shù),是在這兩個重要知識的交匯處命題,意在考查學生的邏輯思維能力與推理能力,函數(shù)及導數(shù)的應用是數(shù)學的難點,也是考得最熱的話題之一,也是本套試卷的把關題,對學生的要求較高.
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