(III)求證:． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

函數(shù)f（x）=xlnx-ax2-x（a∈R）．
（I）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（II）若函數(shù)f（x）的圖象在直線y=-x圖象的下方，求a的取值范圍；
（III）求證：20132012＜20122013．

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（2013•成都一模）在數(shù)列{an}中，a1=2，a2=4，且當(dāng)n≥2時(shí)，a
 
2
n
=an-1an+1，n∈N*．
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（II）若bn=（2n-1）an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；
（III）求證：
1
a1
+
1
2a2
+
1
3a3
+…+
1
nan
＜
3
4
．

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（2013•寧德模擬）已知函數(shù)f1（x）=
1
2
x2，f2（x）=alnx（a∈R）•
（I）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)．f（x）=f1（x）•f2（x）的極值；
（II）若存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，lnx+
3
4x2
-
1
ex
＞0．
（說(shuō)明：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

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已知正方體ABCD-A1B1C1D1．
（I）求CD1與平面ADD1A1所成角；
（II）求證：CD1∥平面A1BD；
（III）求證：平面ACC1A1⊥平面A1BD．

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已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=2an-
n+2
n(n+1)
．
（I）求證數(shù)列{an-
1
n
}成等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（II）若bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；
（III）求證：
1
a1-1
+
1
a2-1
+…+
1
an-1
＜3．

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一、 

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          1. 
   
            
    
    
            
    
            20080506
            題號(hào)
            1
            2
            3
            4
            5
            6
            7
            8
            9
            10
            11
            12
            選項(xiàng)
            A
            D
            C
            A
            A
            C
            B
            B
            C
            D
            C
            B
            二、填空題：
            13．－1    14．5   15．    16．③④      
            三、解答題：
            17.解:(Ⅰ) =……1分
            =……2分
            ∵   ……3分
             
            ……4分
            ∵  .……6分
            (Ⅱ)在中，， ，
            ……7分
            由正弦定理知：……8分
            =.    ……10分
            18．解：（Ⅰ）選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率
            6ec8aac122bd4f6e                                
    ………………4分
            （Ⅱ）6ec8aac122bd4f6e                             
…………………5分           
6ec8aac122bd4f6e
            6ec8aac122bd4f6e                                     
…………9分
            ξ的分布列為：
            ξ
            10
            8
            6
            4
            P
            3/28
            31/56
            9/28
            1/56
            6ec8aac122bd4f6e                               
…………12分
            19. 解法一：
               （1）設(shè)交于點(diǎn)，∵，，∴平面. 作，連結(jié)，則，是二面角的平面角.…3分
             由已知得，，

            ∴，，二面角的大小為.…6分
               （2）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，有平面.
            證明：取的中點(diǎn)連結(jié)、，則，
            ∴，故平面即平面.
            ∵，∴，又平面，
            ．…………………………………………12分
            解法二：以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
            ，，，，.…………2分
               （1），，
            ，設(shè)平面的一個(gè)法向量
            為，則 取.
            設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則 取.
            ∴，∴二面角的大小為. …………6分
               （２）令 則
              
            由已知，，要使平面，只須，即則有
            ，得，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，有平面．…12分
            20解：(I)f(x)定義域?yàn)?一1，+∞)，                       
…………………2分
               
由得x<一1或x>1/a，由得一1<x<1/a，
               
 f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1/a，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(一1，1/a)…………………6分
            (Ⅱ)由(I)可知：
               
①當(dāng)0<a≤1/2時(shí)，，f(x)在[1，2]上為減函數(shù)，
               
………………………………8分
               
②當(dāng)1/2<a<1時(shí)，f(x)在[1，1/a]上為減函數(shù)，在(1/a，2]上為增函數(shù)，
               
…………………………………10分
               
③當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在[1，2]上為增函數(shù)，
               
…………………………………12分
            21．解：（1），設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以，
            所以
            由條件，得，又因?yàn)槭堑缺龋?/p>
            所以，所以，所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 ……………………6分
               （2）設(shè)直線l的方程為，
            聯(lián)立方程組得，
            ，
…………………………………………8分
            ，
………………………………………………10分
            直線RQ的方程為，
              …………………………………………………………………12分
            22. 解：（Ⅰ）由題意,               
-----------------------------------------------------2分
            ,
                    兩式相減得．               
--------------------3分
                    當(dāng)時(shí)，,
            ∴．           
--------------------------------------------------4分
            （Ⅱ）∵，
            ∴,
                  
,
             
,
             
………
             
．
            以上各式相加得
            .
            ∵  ,∴.     
---------------------------6分
            ∴．    
-------------------------------------------------7分
            ∴,
            ∴.
            ∴.
                    
=.
            ∴．  -------------------------------------------------------------9分
            （3）=
                               
=4+
              
=
                               
． 
-------------------------------------------10分
                    ∵,  ∴
需證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
                    ①當(dāng)時(shí)，成立．
                    ②假設(shè)時(shí)，命題成立即，
                    那么，當(dāng)時(shí)，成立．
                    由①、②可得，對(duì)于都有成立．
                   ∴．      
∴．--------------------12分
             
            		
            
	
	
            
		
            


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