如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

 

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設平面PCD的法向量，

則,即.不防設，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

A、3

B、2

C、1

D、0

下列三個說法不正確的個數(shù)是
①零向量是長度為0的向量，所以零向量與非零向量不平行．
②因為平面內(nèi)的向量與這個平面內(nèi)的有向線段一一對應，所以平面內(nèi)的向量可以用這個平面內(nèi)的有向線段表示．
③因為向量，所以AB∥CD．（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，是線段的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理，以及二面角的求解的運用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得證明

（3）因為∴為面的法向量．∵，，

∴為平面的法向量．∴利用法向量的夾角公式，，

∴與的夾角為，即二面角的大小為．

方法一：解:（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系．連接，則點、，

∴，又點，，∴

∴，且與不共線，∴．

又平面，平面，∴平面．…………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．   ………8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴為面的法向量．∵，，

∴為平面的法向量．∴，

∴與的夾角為，即二面角的大小為