下面證明成立. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，要證明的結(jié)論要么________，要么________，二者必居其一，我們可以先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個(gè)前提下，若推出的結(jié)果與________、________、________矛盾，或與命題中的________相矛盾，或與________相矛盾，從而斷定命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立，這種證明方法叫作________．

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閱讀下面給出的定義與定理：
①定義：對(duì)于給定數(shù)列{xn}，如果存在實(shí)常數(shù)p、q，使得xn+1=pxn+q 對(duì)于任意n∈N+都成立，我們稱數(shù)列{xn}是“線性數(shù)列”．
②定理：“若線性數(shù)列{xn}滿足關(guān)系xn+1=pxn+q，其中p、q為常數(shù)，且p≠1，p≠0，則數(shù)列{xn-
q1-p
}是以p為公比的等比數(shù)列．”
（Ⅰ）如果an=2n，bn=3•2n，n∈N+，利用定義判斷數(shù)列{an}、{bn}是否為“線性數(shù)列”？若是，分別指出它們對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)p、q；若不是，請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）如果數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)于任意的n∈N*，都有Sn=2cn-3n，
①利用定義證明：數(shù)列{cn}為“線性數(shù)列”；
②應(yīng)用定理，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；
③求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．

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可以證明，對(duì)任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項(xiàng)組成的數(shù)列a1，a2，a3每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數(shù)列{an}，使得a2011=2009？若存在，寫出一個(gè)這樣的無窮數(shù)列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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可以證明，對(duì)任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項(xiàng)組成的數(shù)列a1，a2，a3每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數(shù)列{an}，使得a2011=2009？若存在，寫出一個(gè)這樣的無窮數(shù)列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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可以證明, 對(duì)任意的, 有成立. 下面嘗試推廣該命題:

（1）       設(shè)由三項(xiàng)組成的數(shù)列每項(xiàng)均非零, 且對(duì)任意的有

成立, 求所有滿足條件的數(shù)列;

（2）設(shè)數(shù)列每項(xiàng)均非零, 且對(duì)任意的有

成立, 數(shù)列的前項(xiàng)和為. 求證: , ;

（3）是否存在滿足(2)中條件的無窮數(shù)列, 使得? 若存在, 寫出一個(gè)這樣的無窮數(shù)列(不需要證明它滿足條件); 若不存在, 說明理由.

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