題目列表(包括答案和解析)
設(shè)是定義在
上的函數(shù),若存在
,使得
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,則稱
為
上的單峰函數(shù),
為峰點(diǎn),包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間. 對(duì)任意的
上的單峰函數(shù)
,下面研究縮短其含峰區(qū)間長(zhǎng)度的方法.
(1)證明:對(duì)任意的,
,若
,則
為含峰區(qū)間;若
,則
為含峰區(qū)間;
(2)對(duì)給定的,證明:存在
,滿足
,使得由(1)所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于
;
設(shè)是定義在
上的函數(shù),若存在
,使得
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,則稱
為
上的單峰函數(shù),
為峰點(diǎn),包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間. 對(duì)任意的
上的單峰函數(shù)
,下面研究縮短其含峰區(qū)間長(zhǎng)度的方法.
(1)證明:對(duì)任意的,
,若
,則
為含峰區(qū)間;若
,則
為含峰區(qū)間;
(2)對(duì)給定的,證明:存在
,滿足
,使得由(1)所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于
;
設(shè)是定義在
上的函數(shù),用分點(diǎn)
將區(qū)間任意劃分成個(gè)小區(qū)間,如果存在一個(gè)常數(shù)
,使得和式
(
)恒成立,則稱
為
上的有界變差函數(shù).
(1)函數(shù)在
上是否為有界變差函數(shù)?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)設(shè)函數(shù)是
上的單調(diào)遞減函數(shù),證明:
為
上的有界變差函數(shù);
(3)若定義在上的函數(shù)
滿足:存在常數(shù)
,使得對(duì)于任意的
、
時(shí),
.證明:
為
上的有界變差函數(shù).
(本小題滿分14分)
設(shè)是定義在
上的函數(shù),用分點(diǎn)
將區(qū)間任意劃分成
個(gè)小區(qū)間,如果存在一個(gè)常數(shù)
,使得和式
(
)恒成立,則稱
為
上的有界變差函數(shù).
(1)函數(shù)在
上是否為有界變差函數(shù)?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)設(shè)函數(shù)是
上的單調(diào)遞減函數(shù),證明:
為
上的有界變差函數(shù);
(3)若定義在上的函數(shù)
滿足:存在常數(shù)
,使得對(duì)于任意的
、
時(shí),
.證明:
為
上的有界變差函數(shù).
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