質(zhì)檢部門將對12個廠家生產(chǎn)的嬰幼兒奶粉進行質(zhì)量抽檢，若被抽檢廠家的奶粉經(jīng)檢驗合格，則該廠家的奶粉即可投放市場；若檢驗不合格，則該廠家的奶粉將不能投放市場且作廢品處理．假定這12個廠家中只有2個廠家的奶粉存在質(zhì)量問題（即檢驗不能合格），但不知道是哪兩個廠家的奶粉．
（I）從中任意選取3個廠家的奶粉進行檢驗，求至少有2個廠家的奶粉檢驗合格的概率；
（Ⅱ）每次從中任意抽取一個廠家的奶粉進行檢驗（抽檢不重復），記首次抽檢到合格奶粉時已經(jīng)檢驗出奶粉存在質(zhì)量問題的廠家個數(shù)為隨即變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

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第I卷（選擇題  共60分）

一、選擇題：（每小題5分，共60分）

（1）B；  （2）A；  （3）B； （4）A；  （5）C；  （6）C；  （7）B；  （8）A； 

（9）D； （10）B； （11）D； （12）B

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

二、填空題：（每小題4分，共16分）

（13）16；（14）   （15）   （16）③④

三、解答題：（本大題共6小題，共74分）

（17）解：（I）由題意，得

（Ⅱ）由（I）可知，

又

又

（18）（I）證明：在中，

      由余弦定理，可得

      又在直平行六面體中，，

      又

（Ⅱ）解：以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

則有。

設平面的法向量為

由   取

而平面的一個法向量為，

故平面與平面所成銳二面角的大小為

（Ⅲ）解：點到平面的距離即為在平面法向量上的射影的模長。

故所求點到平面的距離為

（19）解：（I）任意選取3個廠家進行抽檢，至少有2個廠家的奶粉檢驗合格有兩種情形；一是選取抽檢的3個廠家中，恰有2個廠家的奶粉合格，此時的概率為

二是選取抽檢的3個廠家的奶粉均合格，此時的概率為

故所求的概率為

（Ⅱ）由題意，隨即變量的取值為0，1，2。

的分布列為

0

1

2

的數(shù)學期望

（20）解：（I）當時，函數(shù)   為上的連續(xù)函數(shù)，

令

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在（0，2）上單調(diào)遞增。

又

當時，恒成立，

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減。

綜上可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間為（。

（Ⅱ）對任意恒成立

此時即。

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。而

當時，函數(shù)的最大值為。

結(jié)合（I）中函數(shù)的單調(diào)性可知：當時，

即實數(shù)的取值范圍為

（21）解：（I）設，則而，

。

由，即為中點的軌跡方程

（Ⅱ）點在橢圓內(nèi)部，直線與橢圓必有公共點

設點，由已知，則有

兩式相減，得

而直線的斜率為

直線的方程為

（Ⅲ）假定存在定點，使恒為定值

由于軌跡方程中的，故直線不可能為軸

于是可設直線的方程為且設點P

將代入得

。

顯然

，

則

若存在定點使為定值（與值無關(guān)），則必有

在軸上存在定點，使恒為定值

（22）解：（I）

由

疊加，得

故所求的通項公式為

（Ⅱ）①

②恒成立

下面證明

（i）當時，不等式成立；

當時，左邊右邊

左邊>右邊，不等式成立。

（ii）假設當時，

成立。

則當時，

又

當時，不等式也成立。

綜上（i）、(ii)可知，（ 成立。

對一切正整數(shù)，不等式恒成立

恒成立

故只需

而的最小值為2。