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已知函數(shù)．

（I）當時，求函數(shù)的極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II） 若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點連線的斜率都小于2，求證：；

（III）對任意的圖像在處的切線的斜率為，求證：是成立的充要條件．  

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一、選擇題（每小題5分，共60分）

BDACC   ACDDB   AA

二、填空題（每小題4分，共16分）

13．；   14．    15．―192    16．

三、解答題（共74分）

17．解:（I）由正弦定理,有

        代入得

        即

  （Ⅱ）

        由得

        所以，當時，取得最小值為0

18．解：（I）由已知得

            故

            即

            故數(shù)列為等比數(shù)列，且

            由當時，

            所以

      （Ⅱ）

            所以

19．解：（I）從50名教師隨機選出2名的方法為=1225，選出2人使用教材版本相同的方法數(shù)

            故2人使用版本相同的概率為。

      （Ⅱ）

            的分布為

0

1

2

20．解（I）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐的底面是邊長為1的正方形，

           側棱底面，且，

     （Ⅱ）不論點E在何位置，都有

           證明：連結是正方形，

                 底面，且平面，

                 又平面

                 不論點在何位置，都有平面

                 不論點E在何位置，都有。

     （Ⅲ）以為坐標原點，所在的直線為軸建立空間直角坐標系如圖：

           則從而

           設平面和平面的法向量分別為

           ，

           由法向量的性質可得：

           令則

           設二面角的平面角為，則

           二面角的大小為。

21．解：（1）由題意可知直線的方程為，

因為直線與圓相切，所以，即

從而

   （2）設，則，

又

（

①當時，，解得，

此時橢圓方程為

②當時，，解得，

當，故舍去

綜上所述，橢圓的方程為

22．解：（I）依題意，知的定義域為（0，+）

當時，

令，解得。

當時，；當時，

又所以的極小值為2-2，無極大值。

   （Ⅱ）；

令，解得。

   （1）若令，得令，得

   （2）若，

①當時，，

令，得或；

令，得

②當時，

③當時，得，

令，得或

令，得

綜上所述，當時，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為

當時，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為

當時，遞減區(qū)間為

當時，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為

   （Ⅲ）當時， ，

由，知時，

依題意得：對一切正整數(shù)成立

令，則（當且僅當時取等號）

又在區(qū)間單調遞增，得，

故又為正整數(shù)，得

當時，存在，對所有滿足條件。

所以，正整數(shù)的最大值為32。